[理學(xué)]第六章幾個(gè)典型方程的定解問(wèn)題-wenkub
2022-11-03 01:03:41 本頁(yè)面
【正文】 若 ui 滿(mǎn)足 ? , 1 , 2 ,iiL u f i n??則 ui 的 線(xiàn)性組合 滿(mǎn)足 1niiiu C u?? ?1? niiiLu C f?? ?本篇主要考慮二階線(xiàn)性偏微分方程 . ◆ 什么是 線(xiàn)性 ？ 對(duì) 線(xiàn)性方程 有 疊加原理 ： ◆ 非線(xiàn)性方程 0t x x x xu u u u?? ? ?量與量之間成直線(xiàn)關(guān)系 . 2 ( , )t t x xu a u f x t??徐 師大 蔡俊 齊次線(xiàn)性方程 的通解為： 其中 ui (i = 1,2, … ,n) 為方程所有線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解。 “ del” 這種讀法是較流行的，最直接的讀法。 若無(wú)熱源，則變?yōu)?Laplace方程 ： 0??u例如：靜電場(chǎng)中電勢(shì)滿(mǎn)足的方程： 0u ??? ? ?徐 師大 蔡俊 柱坐標(biāo)系 下的 Laplace算符： 2 2 22 2 2 211u u u uuz? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?球坐標(biāo)系 下的 Laplace算符： 222 2 2 2 21 1 1( ) ( s i n )s i n s i nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?★ 其他方程， 例：薛定諤方程 22iVt? ???? ? ? ? ??▲ 非線(xiàn)性方程，例如孤子方程 0t x x x xu u u u?? ? ?徐 師大 蔡俊 令 ，則： ① 雙曲型 ② 拋物型 ③ 橢圓型 四 .兩個(gè)自變量二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi) 221 1 1 2 2 2 1 220a x a x y a y b x b y c? ? ? ? ? ?21 2 1 1 2 2a a a? ? ?0?? 0?? 0??1 1 1 2 2 2 1 220x x x y y y x ya u a u a u b u b u c? ? ? ? ? ?對(duì)偏微分方程 也可以作類(lèi)似分類(lèi) . 對(duì)二次方程 可以證明， 作 變量代換 后 , 方程分類(lèi)性質(zhì)不變。 解之 , 得 f (x) 。 否則為 非齊次 邊界條件 . 函數(shù)在邊界上 的方向?qū)?shù) . 函數(shù)在邊界上的取值 . 混合邊界條件 徐 師大 蔡俊 二 .定解問(wèn)題 1. 初值問(wèn)題 (柯西問(wèn)題 ) 泛定方程 + 初值條件 2. 邊值問(wèn)題 泛定方程 + 邊值條件 3. 初邊值問(wèn)題 (混合問(wèn)題 ) 泛定方程 + 初值條件 + 邊值條件 此時(shí)，定解問(wèn)題為不含時(shí)問(wèn)題。 直接計(jì)算出 下面以法二為例。寫(xiě)出初始條件，并將此弦的振動(dòng)問(wèn)題表為定解問(wèn)題。1 c os c os,()1c os si n,()1 si n,1( ) ( )xyzx x y yxyczx x zxy rz x y x y z x yzyzrx y z x yx y x yxy z x y z rzx z y y z xx y xx y z x y x y z x y?????????? ? ? ????? ? ??? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ????? ? ??? ? ? ? ? ?2222 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2222220( ) ( )0c os c os c os si n si n 1x x y y z zx y zyxyx x z y y z zr r rr r r x y zx y z x y x y z x yrr? ? ?? ? ? ? ????????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ?徐 師大 蔡俊 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 24 3 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 24 3 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 222 222 2 2 22 2 2[ ( ) ] [ 2 ( ) ]( ) ( )2( ) ( )2( ) ( )2 2 ( )()()xxyyzzxz x y z x y x z x x y x y zxyx y z x yzy z y x z zx yx y z x y x yzx z x y z zx yx y z x y x yz x y z x yx y zx y z???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ???????2 2 22 2 2 3 2 2 4 4 2 22 2 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 ( ) ( ) ( ) 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )c ossi nx x y y zzxyz x y z x y z x y zx yx y z x y x yz x y z x y zx y z x y x y x y z x yr? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ??徐 師大 蔡俊 1 sin 1c os c ossinsin c os1 c os 1sin sin , , c os sinsinc os10sinx xxy y yzzzr rrrrrrr?? ? ? ?????? ? ? ? ? ??????? ??? ????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??? ???????2222222221 1 1 1 1 si nc os c os ( si n c os ) si n c os ( c os c os ) c os si n ( )si n1 c os( 2 c os si n c os si n )si n1 c os( 2 c os si n si n c os )si n1 1 1 1si n ( c os ) c os ( si n
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