第八節(jié)復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解-wenkub
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【正文】 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第一章 多項(xiàng)式 若 不為實(shí)數(shù)，則 也是 的復(fù)根，于是 ? ? ()fx? ?222( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?設(shè) ，則 a bi? ?? ,a b i? ??22a b R?? ? ? ? 即在 R上 是 一個(gè)二次不可約多項(xiàng)式． 2 ()xx? ? ? ?? ? ?2 aR??? ? ? ,從而 2( ) ? ? ? 由歸納假設(shè) 、 可分解成一次因式與二次 1()fx 2()fx不可約多項(xiàng)式的乘積． 由歸納原理，定理得證． 8 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第一章 多項(xiàng)式 推論 2 實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式和某些二 次不可約多項(xiàng)式，所有次數(shù) 3的多項(xiàng)式皆可約 . ?10 169。 2020, Henan Polytechnic University 11 167。x x x x? ? ? ? ?422 25xx?? ( 2 3 ) ( 2 3 )x i x i? ? ? ? ?( 2 3 ) ( 2 3 ) .x i x i? ? ? ?13 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第一章 多項(xiàng)式 從而 ,所求多項(xiàng)式為 2( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )( 1 ) ( 1 )f x x x x i x ix i x i? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 6 1 0 ) ( 2 2 )x x x x x x? ? ? ? ? ? ?7 6 5 4 3 28 2 1 6 6 8 1 4 4 1 2 4 4 0 .x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?15 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第一章 多項(xiàng)式 定義 2 若 211 , , , , n? ? ? ?是 的全部根， 1nx ?則稱 為 n 次單位原根（簡(jiǎn)稱原根） .也就是說(shuō) ?的任一根，都可經(jīng) 表示 . 1nx ? ?,k n k?? ?? 22 c o s 1, k k k kkn ?? ? ? ?? ? ?1 , 2, ,kn? ???易知如下性質(zhì) : 17 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第一章 多項(xiàng)式 ∴ 211 ( 1 ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?② 在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi) ,k n k?? ??∵ 22 c o s 1, k k k kkn ?? ? ? ?? ? ?1 , 2, ,kn? ???① 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 有 n個(gè)復(fù)根， 1nx ?22c o s sin , 1ninn????? ? ?211 , , , , n? ? ? ?其中 （ 3） 22( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ??22( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1xx xx xx?? ?? ? ? ?19 169。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因
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