專題十易錯警示與答題規(guī)范第2講-wenkub
2023-05-22 05:43:17 本頁面
【正文】 ? 五、等價(jià)轉(zhuǎn)換要規(guī)范 例 5 函數(shù) f ( x ) 的定義域 D ＝ { x | x ≠ 0} ，且滿足對于任意 x1， x2∈ D . 有 f ( x1 x2) ＝ f ( x1) ＋ f ( x2) ． ( 1) 求 f ( 1 ) 的值； ( 2) 判斷 f ( x ) 的奇偶性并證明； ( 3) 如果 f ( 4) ＝ 1 ， f (3 x ＋ 1) ＋ f (2 x － 6) ≤ 3 ，且 f ( x ) 在 (0 , ＋ ∞ )上是增函數(shù)，求 x 的取值范圍． 閱卷現(xiàn)場 失分原因與防范措施 失分原因 ：本題失分的主要原因是，在由抽象的不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式的過程中，轉(zhuǎn)化不等價(jià)，從而導(dǎo)致失分． 防范措施 ：數(shù)學(xué)解題的核心就是轉(zhuǎn)化．在轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意其轉(zhuǎn)化是否等價(jià)．對于等價(jià)轉(zhuǎn)化的問題，要注意書寫格式的規(guī)范性，必要時(shí)，要輔助語言加以說明 . 正 解 解 ( 1) 令 x1＝ x2＝ 1 ，有 f (1 1) ＝ f ( 1 ) ＋ f ( 1 ) ， 解得 f ( 1 ) ＝ 0. ……………………………………………… 2 分 ( 2) f ( x ) 為偶函數(shù)，證明如下： …………………………… 4 分 令 x1＝ x2＝－ 1 ， 有 f [( － 1) ( － 1) ] ＝ f ( － 1) ＋ f ( － 1) ， 解得 f ( － 1) ＝ 0. ……………………………………………… 6 分 令 x1＝－ 1 ， x2＝ x ，有 f ( － x ) ＝ f ( － 1) ＋ f ( x ) ， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ． ∴ f ( x ) 為偶函數(shù) .………………………… 9 分 ( 3) f (4 4) ＝ f ( 4) ＋ f ( 4) ＝ 2 ， f ( 16 4) ＝ f ( 16 ) ＋ f ( 4 ) ＝ 3. 由 f (3 x ＋ 1) ＋ f (2 x － 6) ≤ 3 ， 變形為 f [ ( 3 x ＋ 1 ) ( 2 x － 6) ] ≤ f ( 64) ． ① ∵ f ( x ) 為偶函數(shù)， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ＝ f (| x |) ． ∴ 不等式 ① 等價(jià)于 f [ | ( 3 x ＋ 1) ( 2 x － 6 ) | ] ≤ f ( 64 ) .………… 11 分 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)， ∴ | ( 3 x ＋ 1) ( 2 x － 6) |≤ 64 ，且 (3 x ＋ 1) ( 2 x － 6) ≠ 0. 解得－73≤ x －13或－13 x 3 或 3 x ≤ 5. ∴ x 的取值范圍是 { x |－73≤ x －13或－13 x 3 或 3 x ≤ 5 } . …………………………………………………………… 14 分 評分細(xì)則： ( 1) 能正確求出 f ( 1) 的值給 2 分； ( 2) 第 ( 2) 問給出結(jié)論 f ( x ) 為偶函數(shù)給 2 分 . 證明不正確的只得結(jié)論分． ( 3) 能得到 3 ＝ f ( 64) 的給 1 分，變形為 f [(3 x ＋ 1) ( 2 x － 6) ] ≤ f ( 64)
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