navierstokes方程的解-wenkub
2023-05-21 19:06:08 本頁面
【正文】 近似方程探討球的緩慢運動問題 物體在流體中作等速直線運動引起的流體運動 ，如果相對于固定在物體上的坐標系來說 ， 則流體運動是定常的 ， 在求解這類流動問題時 ， 往往采用固定在物體上的坐標系來進行研究 。 由于球體半徑 r0甚小 ， 運動速度也甚小 ， 而運動粘性系數(shù) ν 較大 ， 因此 Red0=U0d0/ν 很小 。 (4) 將此形式的解代入方程組 ， 先求出 f1(r)、 f2(r)及f3(r)， 再獲得 ur(r,θ)、 u?(r,θ)及 p(r,θ)的具體表達式 。根據(jù)運動相對性原理 ， 該作用力的大小等于小球在無界粘性流體中作勻速直線運動時的阻力 。 根據(jù)式 (28)、 (29)即可求得在 z方向球所受到的合力 (即球所受到的阻力 )。由于 Stokes阻力公式是在 Re1的前提下導出的 ， 所以一般利用它計算霧滴 、 小雨點 、 粉塵等微小質(zhì)點在流體中的沉降速度 。 由于球形小顆粒自由下落到某個適當時候 ， 它受到的阻力正好與浮力和重力 (浮重 )相平衡 ， 并以速度 U作勻速下落運動 ， 根據(jù)力平衡關系 ， 有 ? ? Uaga ????? 634 03 ?? Stokes流動 由此得到 由上式可知 ， 小球自由下落時 ， 所達到的平衡速度 U與小球半徑 a的平方成正比 。 由此可見 ， 只有小霧滴才能使用 Stokes阻力公式來計算其自由下落速度 。 Stokes流動解的修正 慣性力項～ 粘性力項 ～壓力項～ 0θrr?????????ruu???????????????????? 43020330020 232321231rrrrrrrrU???????????????????? 3300220202021231123rrrrrrrrU3000θ31rrUrp ?? ?????????? Stokes流動解的修正 所以 由此看出 ， 只有在圓球附近 (即 r→ r0時 )， A才很小趨近于零 ， 慣性力與粘性力相比可以忽略；在離開球面較遠處 ， A就不趨向于零 ， 慣性力不能忽略 ，這與原假設矛盾；而當 r很大時 ， A～ (U0r)/(2ν)不僅不是小量 ， 而且是一個較大的量 ， 此時更不能忽略慣性力項 。 與 Stokes方程組一樣 ， 也是線性的 。 Stokes流動解的修正 Stokes近似解的流線形狀 Oseen近似解的流線形狀 Stokes流動解的修正 Oseen近似解雖然作了改進 ， 但對總阻力FD的計算結(jié)果 (或阻力系數(shù) CD的計算結(jié)果 )與實驗結(jié)果相比 ， 它并不比 Stokes解好多少 。 。 阻力系數(shù) CD隨 Re數(shù)變化的曲線 CD Re=Ud/ν Stokes阻力公式 Oseen阻力公式 實驗擬合公式 Stokes流動解的修正 由實驗數(shù)據(jù)擬合得到的阻力系數(shù)經(jīng)驗公式為 此式可以用于實際中的圓球繞流阻力計算 。Oseen近似解由于考慮了部分慣性力項 ， 從物理概念上要比 Stokes近似解更為嚴密 。 考慮球的繞流 ， 在無窮遠處來流速度為U0， 并且平行于 ox軸 ， Oseen假設流場中速度分量由常數(shù)項和擾動項組成 ， 即 ux＝ U0＋ ux?， uy＝ uy?， uz＝ uz? 式中的 ux?、 uy?、 uz?與 U0相比是小量 。 這可從慣性力與粘性力的數(shù)量級比較中得知 ， 而慣性力與粘性力的數(shù)量級又可從 Stokes解的結(jié)果中估計 。 ? ? gaU ??? ?? 0292 Stokes流動 引入繞流 Re數(shù) 有 或者 ?Ua2Re ?Re149 1023 ????????? ??????a203 Re118 ???????? ?????U Stokes流動 將水滴密度 ρ0 ＝ 1000kg/m3 ， 空氣密度 ρ＝， 空氣動力粘度 μ＝ ?105Pa 阻力系數(shù) CD隨 Re數(shù)變化的曲線 CD Re=Ud/ν Stokes阻力公式 Oseen阻力公式 實驗擬合公式 Stokes流動 Stokes阻力公式與實驗結(jié)果的比較： ① 在 Re1時 ， 兩者符合得較好 ， 出現(xiàn)的誤差在允許的范圍內(nèi) ， Stokes公式可以用來計算阻力 ， 在 Re1時 ， 兩者差別較大 ， Stokes阻力公式不再適用； ② Stokes解只適用于圓球附近的流動區(qū)域內(nèi) ， 在離球較遠的流動區(qū)域 ， Stokes解不再適用 。 ???????? ? ds i n2s i ns i n23ds i n 000 00rrθrz 0 rrrUAFA ??? ???????? ??????00z 4
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