navierstokes方程的解-wenkub
2023-05-21 19:06:08 本頁(yè)面
【正文】 近似方程探討球的緩慢運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 物體在流體中作等速直線運(yùn)動(dòng)引起的流體運(yùn)動(dòng) ，如果相對(duì)于固定在物體上的坐標(biāo)系來(lái)說(shuō) ， 則流體運(yùn)動(dòng)是定常的 ， 在求解這類流動(dòng)問(wèn)題時(shí) ， 往往采用固定在物體上的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究 。 由于球體半徑 r0甚小 ， 運(yùn)動(dòng)速度也甚小 ， 而運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) ν 較大 ， 因此 Red0=U0d0/ν 很小 。 (4) 將此形式的解代入方程組 ， 先求出 f1(r)、 f2(r)及f3(r)， 再獲得 ur(r,θ)、 u?(r,θ)及 p(r,θ)的具體表達(dá)式 。根據(jù)運(yùn)動(dòng)相對(duì)性原理 ， 該作用力的大小等于小球在無(wú)界粘性流體中作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的阻力 。 根據(jù)式 (28)、 (29)即可求得在 z方向球所受到的合力 (即球所受到的阻力 )。由于 Stokes阻力公式是在 Re1的前提下導(dǎo)出的 ， 所以一般利用它計(jì)算霧滴 、 小雨點(diǎn) 、 粉塵等微小質(zhì)點(diǎn)在流體中的沉降速度 。 由于球形小顆粒自由下落到某個(gè)適當(dāng)時(shí)候 ， 它受到的阻力正好與浮力和重力 (浮重 )相平衡 ， 并以速度 U作勻速下落運(yùn)動(dòng) ， 根據(jù)力平衡關(guān)系 ， 有 ? ? Uaga ????? 634 03 ?? Stokes流動(dòng) 由此得到 由上式可知 ， 小球自由下落時(shí) ， 所達(dá)到的平衡速度 U與小球半徑 a的平方成正比 。 由此可見 ， 只有小霧滴才能使用 Stokes阻力公式來(lái)計(jì)算其自由下落速度 。 Stokes流動(dòng)解的修正 慣性力項(xiàng)～ 粘性力項(xiàng) ～壓力項(xiàng)～ 0θrr?????????ruu???????????????????? 43020330020 232321231rrrrrrrrU???????????????????? 3300220202021231123rrrrrrrrU3000θ31rrUrp ?? ?????????? Stokes流動(dòng)解的修正 所以 由此看出 ， 只有在圓球附近 (即 r→ r0時(shí) )， A才很小趨近于零 ， 慣性力與粘性力相比可以忽略；在離開球面較遠(yuǎn)處 ， A就不趨向于零 ， 慣性力不能忽略 ，這與原假設(shè)矛盾；而當(dāng) r很大時(shí) ， A～ (U0r)/(2ν)不僅不是小量 ， 而且是一個(gè)較大的量 ， 此時(shí)更不能忽略慣性力項(xiàng) 。 與 Stokes方程組一樣 ， 也是線性的 。 Stokes流動(dòng)解的修正 Stokes近似解的流線形狀 Oseen近似解的流線形狀 Stokes流動(dòng)解的修正 Oseen近似解雖然作了改進(jìn) ， 但對(duì)總阻力FD的計(jì)算結(jié)果 (或阻力系數(shù) CD的計(jì)算結(jié)果 )與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比 ， 它并不比 Stokes解好多少 。 。 阻力系數(shù) CD隨 Re數(shù)變化的曲線 CD Re=Ud/ν Stokes阻力公式 Oseen阻力公式 實(shí)驗(yàn)擬合公式 Stokes流動(dòng)解的修正 由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的阻力系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式為 此式可以用于實(shí)際中的圓球繞流阻力計(jì)算 。Oseen近似解由于考慮了部分慣性力項(xiàng) ， 從物理概念上要比 Stokes近似解更為嚴(yán)密 。 考慮球的繞流 ， 在無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流速度為U0， 并且平行于 ox軸 ， Oseen假設(shè)流場(chǎng)中速度分量由常數(shù)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)組成 ， 即 ux＝ U0＋ ux?， uy＝ uy?， uz＝ uz? 式中的 ux?、 uy?、 uz?與 U0相比是小量 。 這可從慣性力與粘性力的數(shù)量級(jí)比較中得知 ， 而慣性力與粘性力的數(shù)量級(jí)又可從 Stokes解的結(jié)果中估計(jì) 。 ? ? gaU ??? ?? 0292 Stokes流動(dòng) 引入繞流 Re數(shù) 有 或者 ?Ua2Re ?Re149 1023 ????????? ??????a203 Re118 ???????? ?????U Stokes流動(dòng) 將水滴密度 ρ0 ＝ 1000kg/m3 ， 空氣密度 ρ＝， 空氣動(dòng)力粘度 μ＝ ?105Pa 阻力系數(shù) CD隨 Re數(shù)變化的曲線 CD Re=Ud/ν Stokes阻力公式 Oseen阻力公式 實(shí)驗(yàn)擬合公式 Stokes流動(dòng) Stokes阻力公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較： ① 在 Re1時(shí) ， 兩者符合得較好 ， 出現(xiàn)的誤差在允許的范圍內(nèi) ， Stokes公式可以用來(lái)計(jì)算阻力 ， 在 Re1時(shí) ， 兩者差別較大 ， Stokes阻力公式不再適用； ② Stokes解只適用于圓球附近的流動(dòng)區(qū)域內(nèi) ， 在離球較遠(yuǎn)的流動(dòng)區(qū)域 ， Stokes解不再適用 。 ???????? ? ds i n2s i ns i n23ds i n 000 00rrθrz 0 rrrUAFA ??? ???????? ??????00z 4
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