【正文】 )( ?? ??? ff)0()(max ff ??返回本章目錄 )0()( ff ???)(?f0lim 1 ????? nniin?從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。 隨機(jī)誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面： ① 測量裝置方面的因素 ② 環(huán)境方面的因素 ③ 人為方面的因素 零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機(jī)噪聲等。第 2章 誤 差的基本性 質(zhì) 與 處 理 本章闡述。 溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。 設(shè)被測量值的真值為 ，一系列測得值為 ，則測量列的隨機(jī)誤差 可表示為： (21) 式中 。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。 (一 )算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為 n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為 : (28) ???????niin lnnlllx121 1?nlll , 21 ?第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 三、算術(shù)平均值 下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值 Lo。 oii Ll ????onn nLlll ????????? )( 2121 ?? ????? ?? ?? ni oini i nLl11 ?nnlLniiniio???? ??? 11?0lim 1 ????? nniin?01 Lnlxnii????第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（ 21）求得隨機(jī)誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計算。 第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 例 21 測量某物理量 10次，得到結(jié)果見表 21，求算術(shù)平均值。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在 0lil? 0x?x??? xlii? ? ?? ? ??ni ni ii xnlv1 1 xx ???ni iv10il ＝ ??x序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + + 0 0 0 + + 0 + 0 + ????ni 1010 ????? ??i ilxil? iv12－表第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 舍入誤差 Δ ，即有： 成立。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。 解：算術(shù)平均值 為： 取 ＝ ,52102 ??n1?????Anvi ix mmmmlx i i 111 ??? ??xil iv序號 (mm) (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 + + + + + + 0111 ???i il ???i iv22?表第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。 σ 值愈大，函數(shù) 減小得越慢； σ 值愈小， 減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖 22所示。 )(?f )(?f第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 （二）或然誤差 ρ 測量列的或然誤差 ρ ，它將整個測量列的 n個隨機(jī)誤差分為個數(shù)相等的兩半。 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計算方法 （一）等精度測量到單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算 貝塞爾 (Bessel)公式 (213) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有 (214) )(?f ?? ?s?? 3???im0Llii ????????????????????????0022011LxxlLxxlLxxlnn????xLx ??? )( 0 xlv ii ???????????????xnnxxvvv???????2211第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 將上式對應(yīng)相加得 ： ，即 (215) 若將式 (214)平方后再相加得： (216) 將式 (215)平方有： 當(dāng) n適當(dāng)大時，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式 (216)得： (217) 由于 ，代入式 (217)得 ： ，即 (218) xni ini inv ?? ?? ???? 11nnvnni ini ini ix??? ??? ??? 111 ??????? ???? ????? ni xini ixxni ini i nvvnv 1 22121 21 2 2 ????21212122nnnnjijiniiniix??????? ??????????????????????ni ji1 ??nvniiniinii???????? 121212??212 ?? nni i??? ???? ni ivn1222 ??12???? nvi?第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進(jìn)一步得： 則平均誤差有： 由式 26得： 故有 ： (226) 此式稱為別捷爾斯（ Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對值之和求出單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為： (227) nnvniii?????? 1221???? ?? ?? ni ini i vn n 1 21 2 1? 111 ??? ?? ?? n nvni ini i????????niiniivnnn11)1(1????? 25 1 ??)1(2 5 3 ????nnv i???12 5 1????nnvniix?v? x?第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 例 24 用別捷爾斯法求得表 23的標(biāo)準(zhǔn)差。 nxxx , 21 ?maxx minxm i nm a x xxn ????? nn dE ?)(?? ?)(nndE? ?nnd?? ?ndn 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 nd42?表第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 例 25 仍用表 23的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 例 26 仍用表 23的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有 ，而 故標(biāo)準(zhǔn)差為 10?nmmv i 0 4 a x ? 10??KmmmmKv i 10m a x ??????nK1?nK1n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 nK152?表第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 例 27 某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長 ，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。 由式 (28)已知算術(shù)平均值 為： 取方差得 因 故有 x n lllx n???? 21? ?)()()(1)( 212 nlDlDlDnxD ???? ?)()()()( 21 lDlDlDlD n ???? ?)(1)(1)( 2 lDnlnDnxD ??第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 所以 (221) 即在 n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差 的 ，當(dāng) n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高?？傊岣邷y量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。因?yàn)? ， )1(32 12????nnvRnii)1(54 12????nnvTnii0,1?? ??ni ivmmx 1???????mmmmnli xinnR xx ???? ???? 32326 7 4 nnT xx ???? ???? 54547 9 7 第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 與表中的 結(jié)果一致，故計算正確?，F(xiàn)已查出 t=1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率 p=2φ(t) 和超出相應(yīng)區(qū)間的概率 p’=12φ(t) ，如表 26所示（圖 2－ 4）。 在實(shí)際測量中，有時也可取其它 t值來表示單次測量的極限誤差。 當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時 ， 根據(jù)概率論知識 ， 同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (237) 式中的 t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 例 29 對某量進(jìn)行 6次測量 ， 測得數(shù)據(jù)如下： ， ， ， ， 。 七、不等精度測量 ① 在實(shí)際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。 對于不等精度測量，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不 ??????? xatx ?? ??? ???0 4 1 ??????? xtx ??第一 節(jié) 隨機(jī) 誤 差 能套用前面等精度測量的計算公式，需推導(dǎo)出新的計算公式。 （二）權(quán)的確定方法 測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 m