【正文】 ＜ an+1＜ 1； （Ⅲ）設(shè) b∈（ a1， 1），整數(shù)．證明： ak+1＞ b． 2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷Ⅰ）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿(mǎn)分 60 分） 1．（ 5 分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． {x|x≥ 0}B． {x|x≥ 1}C． {x|x≥ 1}∪ {0}D． {x|0≤ x≤ 1}【考點(diǎn)】 33：函數(shù)的定義域及其求法． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】偶次開(kāi)方的被開(kāi)方數(shù)一定非負(fù)． x（ x﹣ 1）≥ 0， x≥ 0，解關(guān)于 x 的不等式組，即為函數(shù)的定義域．【解答】解：由 x（ x﹣ 1）≥ 0，得 x≥ 1，或 x≤ 0．又因?yàn)?x≥ 0，所以 x≥ 1，或 x=0； 所以函數(shù)的定義域?yàn)?{x|x≥ 1}∪ {0}故選： C．【點(diǎn)評(píng)】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現(xiàn)，通常注意偶次開(kāi)方一定非負(fù)，分式中分母不能為 0，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于 0，指數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)大于 0 且不等于 1．另外還要注意正切函數(shù)的定義域． 2．（ 5 分）汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后 停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程 s 看作時(shí)間 t 的函數(shù)，其圖象可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】 3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 16：壓軸題； 31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由已知中汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，汽車(chē)的行駛路程 s 看作時(shí)間 t 的函數(shù)，我們可以根據(jù)實(shí)際分析函數(shù)值 S（路程）與自變量 t（時(shí)間）之間變化趨勢(shì)，分析四個(gè)答案即可得到結(jié)論．【解答】解：由汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)后的加速行駛階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來(lái)越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀； 在汽車(chē)的勻速行駛 階段，路程隨時(shí)間上升的速度保持不變故圖象的中間部分為平升的形狀； 在汽車(chē)減速行駛之后停車(chē)階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來(lái)越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀； 分析四個(gè)答案中的圖象，只有 A 答案滿(mǎn)足要求，故選： A．【點(diǎn)評(píng)】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢； 如果圖象是凹陷上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快； 如果圖象是直線(xiàn)上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度保持不變； 如果圖象是水平直線(xiàn)，表明相應(yīng)的量保持不變，即不增長(zhǎng)也不降低； 如果圖象 是凸起下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來(lái)越快； 如果圖象是凹陷下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來(lái)越慢； 如果圖象是直線(xiàn)下降的，表明相應(yīng)的量降低速度保持不變． 3．（ 5分）在△ ABC 中， =， =．若點(diǎn) D 滿(mǎn)足 =2，則 =（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】9B：向量加減混合運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】把向量用一組向量來(lái)表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點(diǎn)，把整個(gè)過(guò)程寫(xiě)下來(lái)，即為所求．本題也可以根據(jù) D 點(diǎn)把 BC 分成一比二的兩部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】用一 組向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的 4．（ 5分）設(shè) a∈ R，且（ a+i） 2i 為正實(shí)數(shù)，則 a=（） A． 2B． 1C． 0D．﹣ 1【考點(diǎn)】 A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】注意到 a+bi（ a， b∈ R）為正實(shí)數(shù)的充要條件是 a＞ 0， b=0【解答】解：（ a+i） 2i=（ a2+2ai﹣ 1） i=﹣ 2a+（ a2﹣ 1） i＞ 0， a=﹣ 1．故選 D．【點(diǎn)評(píng)】本題的計(jì)算中，要注意到相應(yīng) 變量的范圍． 5．（ 5 分）已知等差數(shù)列 {an}滿(mǎn)足 a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前 10 項(xiàng)的和 S10=（）A． 138B． 135C． 95D． 23【考點(diǎn)】 83：等差數(shù)列的性質(zhì)； 85：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 11：計(jì)算題．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和，根據(jù) a2+a4=4， a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項(xiàng)及公差），進(jìn)而代入前 n 項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：∵（ a3+a5）﹣（ a2+a4） =2d=6，∴ d=3， a1=﹣ 4，∴S10=10a1+=95．故選： C．【點(diǎn)評(píng)】在求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前 n 項(xiàng)和時(shí)，如果可以證明這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果未知這個(gè)數(shù)列的類(lèi)型，則可以判斷它是否與某個(gè)等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項(xiàng)公式． 6．（ 5 分）若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=ln 的圖象關(guān)于直線(xiàn) y=x 對(duì)稱(chēng)，則 f（ x） =（） A． e2x﹣ 2B． e2xC． e2x+1D． e2x+2【考點(diǎn)】 4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【 專(zhuān)題】 11：計(jì)算題．【分析】由函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù)y=ln 的圖象關(guān)于直線(xiàn) y=x 對(duì)稱(chēng)知這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù) y=f（ x）的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù) y=ln中反解出 x，后再進(jìn)行 x， y 互換，即得反函數(shù)的解析式．【解答】解：∵，∴，∴ x=（ ey﹣ 1） 2=e2y﹣ 2，改寫(xiě)為： y=e2x﹣ 2∴答案為 A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系及反函數(shù)的求法． 7．（ 5分）已知曲線(xiàn) y=在點(diǎn)（ 3， 2）處的切線(xiàn)與直線(xiàn) ax+y+1=0 垂直，則 a 的值為（） A． 2B． C．﹣ D．﹣ 2【考點(diǎn) 】 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線(xiàn)的斜率，由兩直線(xiàn)垂直的條件，即可得到 a的值．【解答】解：∵ y=，∴ y′ ==，∴曲線(xiàn) y=在點(diǎn)（ 3， 2）處的切線(xiàn)的斜率 k=﹣，∵曲線(xiàn) y=在點(diǎn)（ 3， 2）處的切線(xiàn)與直線(xiàn) ax+y+1=0 垂直，∴直線(xiàn)ax+y+1=0 的斜率 k′ =﹣ a =﹣ 1，即 a=﹣ 2．故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的性質(zhì)的靈活運(yùn)用． 8．（ 5分）為得到函數(shù)的圖象 ，只需將函數(shù) y=sin2x的圖象（） A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【考點(diǎn)】 HJ：函數(shù) y=Asin（ω x+φ）的圖象變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為正弦的形式，再根據(jù)左加右減的原則進(jìn)行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需將函數(shù) y=sin2x 的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的平移．屬基礎(chǔ)題． 9．（ 5分）設(shè)奇函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞）上為增函數(shù)，且 f（ 1） =0，則不等式＜ 0 的解集為（） A．（﹣ 1， 0）∪（ 1， +∞） B．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 0，1） C．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 1， +∞） D．（﹣ 1， 0）∪（ 0， 1）【考點(diǎn)】 3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 16：壓軸題．【分析】首先利用奇函數(shù)定義與得出 x 與 f（ x）異號(hào)，然后由奇函數(shù)定義求出f（﹣ 1） =﹣ f（ 1） =0，最后結(jié)合 f（ x）的單調(diào)性解出答案．【解答】解：由奇函數(shù) f（ x）可知，即 x與 f（ x）異號(hào)，而 f（ 1） =0，則 f（﹣1） =﹣ f（ 1） =0，又 f（ x）在（ 0， +∞）上為增函數(shù)，則奇函數(shù) f（ x）在（﹣∞， 0）上也為增函數(shù)，當(dāng) 0＜ x＜ 1時(shí)， f（ x）＜ f（ 1） =0，得＜ 0，滿(mǎn)足； 當(dāng) x＞ 1 時(shí)， f（ x）＞ f（ 1） =0，得＞ 0，不滿(mǎn)足，舍去； 當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0時(shí)， f（ x）＞ f（﹣ 1） =0，得＜ 0，滿(mǎn)足； 當(dāng) x＜﹣ 1時(shí)， f（ x）＜ f（﹣ 1） =0，得＞ 0，不滿(mǎn)足，舍去； 所以 x 的取值范圍是﹣ 1＜ x＜ 0或 0＜ x＜ 1．故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查奇函數(shù)定義與它的單調(diào)性． 10．（ 5 分）若直線(xiàn) =1 與圓x2+y2=1 有公共點(diǎn)，則（） A． a2+b2≤ 1B． a2+b2≥ 1C． D．【考點(diǎn)】 J9：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】用圓心到直線(xiàn)的距離小于或等于半徑，可以得到結(jié)果．【解答】解：直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，即直線(xiàn)與圓相切或相交得： d≤ r，∴，故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題． 11．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的側(cè)棱與底 面邊長(zhǎng)都相等， A1 在底面 ABC 內(nèi)的射影為△ ABC 的中心，則 AB1 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】 LP：空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 11：計(jì)算題； 31：數(shù)形結(jié)合； 4R：轉(zhuǎn)化法； 5G：空間角．【分析】法一：由題意可知三棱錐 A1﹣ ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為 2，求出 AB1 及三棱錐的高，由線(xiàn)面角的定義可求出答案； 法二：先求出點(diǎn) A1 到底面的距離 A1D 的長(zhǎng)度，即知點(diǎn) B1 到底面的距離 B1E 的長(zhǎng)度，再求出 AE 的長(zhǎng)度，在直角三角形 AEB1 中求 AB1與底面 ABC 所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦．【解答】解：（法一）因?yàn)槿庵?ABC﹣ A1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1 在底面 ABC內(nèi)的射影為△ ABC 的中心，設(shè)為 D，所以三棱錐 A1﹣ ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為 2，則△ AA1B1 是頂角為 120176。等腰三角形，所以 AB1=2 2 sin60176?！啜N DOE=90176。等腰三角形，所以 AB1=2 2 sin60176?！啜N DOE=90176。C． 60176。沿對(duì)角線(xiàn) BD 將△ ABD 折起，使二面角 A﹣ BD﹣ C為 120176。 5．（ 5 分）在△ ABC 中， =， =．若點(diǎn) D 滿(mǎn)足 =2，則 =（）A． B． C． D． 6．（ 5分） y=（ sinx﹣ cosx） 2﹣ 1 是（） A．最小正周期為 2π的偶函數(shù) B．最小正周期為 2π的奇函數(shù) C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為π的奇函數(shù) 7．（ 5分）已知等比數(shù)列 {an}滿(mǎn)足a1+a2=3， a2+a3=6，則 a7=（） A． 64B． 81C． 128D． 2438．（ 5 分）若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=ln 的圖象關(guān)于直線(xiàn) y=x 對(duì)稱(chēng)，則 f（ x）=（） A． e2x﹣ 2B． e2xC． e2x+1D． e2x+29．（ 5 分）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù) y=sin2x 的圖象（） A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B． 向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 10．（ 5分）若直線(xiàn) =1 與圓 x2+y2=1 有公共點(diǎn)，則（） A． a2+b2≤ 1B． a2+b2≥ 1C． D． 11．（ 5分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等， A1 在底面 ABC 內(nèi)的射影為△ ABC 的中心，則 AB1 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（） A． B． C． D． 12．（ 5 分）將 1， 2， 3 填入 3 3 的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有（） A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 48 種 二、填空題（共 4 小題，每 小題 5 分，滿(mǎn)分 20分） 13．（ 5 分）若 x， y 滿(mǎn)足約束條件，則 z=2x﹣ y 的最大值為 ． 14．（ 5 分）已知拋物線(xiàn) y=ax2﹣ 1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以?huà)佄锞€(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 ． 15．（ 5 分）在△ ABC 中，∟ A=90176。為 CE 與平面 ABE 所成的角．∵ CE=，∴ CH=EH=．直角三角形 CBH 中，利用勾股定理求 得 BH===1，∴ AH=AB﹣ BH=AC﹣ 1； 直角三角形 ACH 中，由勾股定理求得 AC2=CH2+AH2=3+（ AC﹣ 1） 2，∴ AB=AC=2．由面 ABC⊥面 BCDE，矩形 BCDE 中 CD⊥ CB，可得 CD⊥面 ABC，故△ ACD 為直角三角形， AD===，故 CG===， DG==，又，則，∴，即二面角 C﹣ AD﹣ E 的大小．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查通過(guò)證明線(xiàn)面垂直來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題． 19．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =﹣ x2+ax+1﹣ lnx．（Ⅰ）當(dāng) a=3時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若 f（ x）在區(qū)間（ 0，）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．【考點(diǎn)】 3D：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間； 3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】 16：壓軸題．【分析】（ 1）求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于 0即可．（ 2）已知 f（ x）在區(qū)間（ 0，