【正文】 2 )si n ( / 4 )e x p ( )2 / 4iw t iw t iw tiw iwf w e f t d t e d t e d tiw eeiwiw wiw? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? （ 34） （ 2） Shannon 小波的定義： 10 1， ? w 2? ( ,2 )?( ) ( )f w x w??? = 0, 其它 （ 35） 這時，取 ?()fw的逆變換得： 1 2 3( ) ( s in 2 s in ) s in ( ) c o s ( )22ttf t t ttt ??????? ? ? （ 36） （ 3） Gauss 小波的定義： Gauss 小波是 Gauss 函數(shù)的一階導數(shù)，即為： 2() tt Cte ?? ?? （ 37） 它的傅里葉變換為： 2?() ww iCwe ?? ??? （ 38） 基于小波族是作為由一個單個小波函數(shù) ()t? 的平移和伸縮構(gòu)成的函數(shù)族的概念，我們引入： 12, ( ) ( ) , , 。由于 ()t? 在整個實線 R上是可積的，所以它在無窮遠處一定是為 0，也就是說當 t?? 時， ()t? 衰減到 0。 3． 1 小波的簡介 我們在小波分析的研 究和應用中，會經(jīng)常提到“信號”一詞。 9 第三章 小波變換理論 為了獲取信號的時域信息，人們對 Fourier 分析進行了推廣，其中短時 Fourier變換就是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上引入時域信息的最初嘗試。設2( ) ( )g t L R? 是窗函數(shù)，離散的 Gabor 函數(shù)定義 為： 00, 0 0 2( ) e x p (2 ) ( ) ( )m n m w n tg t m w t g t n t M T g t??? ? ? （ 26） 式中： 00,tw分別為時間參數(shù)和頻率參數(shù)。 （ 2）連續(xù) Gabor 變換的定義：函數(shù) 2()f L R? 關(guān)于窗函數(shù) 2()g L R? 的連續(xù) Gabor變換定義為： ( )( , ) { } ( , ) ( ) ( ) iw tGf b w G f b w f t g t b e dt? ???? ? ?? (25) 8 說明：（ 1）在 Gabor 變換中，要求 2, ( )f g L R? 只是為了討論的方便，事實上這個要求不完全是必要的。連續(xù) Gabor 變換用開窗的方法作為 Fourier 變換 的一種簡單局部化。 （ 3） 圖像特征識別 Fourier 變換 可以用于與卷積密切聯(lián)系的相關(guān)運算。我們知道時域中卷積，頻率中就是相乘，即 Fourier 變換 后的乘積。 （ 2）離散 Fourier 變換 可以用一種快速算法實現(xiàn)，即快速 Fourier 變換 （ FFT）。 在二維的數(shù)字圖像中，假設 ( , )f mn 是一個包含兩個離散空間變量 m 和 n 的函數(shù)，則有該函數(shù)的二維 Fourier 變 換 的定義如下： 1 1 212( , ) ( , ) jw m j w mmnF w w f m n e e?? ??? ? ? ? ? ?? ?? （ 22） 式中， 12( , )Fw w 是復變函數(shù)，其變量 1w 和 2w 的周期均為 2? 。 2． 1． 1 Fourier 變換的定義 Fourier 級數(shù)主要表征的是周期信號的性質(zhì)，但在工程應用中大量的卻是非周期性信號。此外，隨著小波分析方法在圖像處理中的應用不斷發(fā)展成熟，基于小波的圖像處理 成為 當前研究的 熱門，也正是本文討論的課題。而所謂的圖像變換就是指把圖像轉(zhuǎn)換為另一種數(shù)學表達方式 的操作。 第六章是總結(jié)與展望。最后系統(tǒng)的研究了 Canny 連續(xù)準則及其算法。本章重點講述了小波變換的定義，介紹了幾個典型的小波函數(shù)。簡單介紹了邊緣檢測和掌紋識別的基本情況以及發(fā)展方向。為了更好的提取圖像特征，首先對圖像進行了預處理，使之達到 灰度增強 的目的。 基于圖像的掌紋識別作為一項新興的生物識別技術(shù)，因具有采樣簡單、圖像信息豐富、用戶接受程度高、不易偽造、受噪聲干擾小等特點受到國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。這種融合可以體現(xiàn)在特征級，也可以體現(xiàn)在匹配級 。子空間法提取特征具有描述性強、計算代價小、易實現(xiàn)和可分性好等特點，但不足之處在于該方法下得到的特征一般是最佳描述但不是最佳分類特征，這不利于分類匹配。目前有很多方法是針對紋理分析處理掌紋圖像的 ，如 傅立葉變換 、 小波變換 等方法。它 實際上是低對比度，高噪聲背景下的 圖像的邊緣檢測， 是掌紋識別中最直接的方法。由于以上的特點，掌紋識別成為了近幾年發(fā)展特別快的一種生物識別技術(shù)，具有廣闊的發(fā)展前景。 由此可見，掌紋中包含的信息比起一枚指紋中的信息要豐富得多。 （ 1）掌紋中最重要的特征是紋線特征，這些紋線中最清晰的幾條在人的一生中基本上不會發(fā)生變化，并且在低分辨率和低質(zhì)量的圖像中仍能夠清晰的辨認。 1． 3 基于圖像 邊緣檢測 的 掌紋識別綜述 1． 3． 1 掌紋識別簡介 基于圖像處理的各種應用近年來得到了飛速的發(fā)展， 而 基于圖像的掌紋識別 【 6】 技術(shù)便是其應用的一個方面。 20 世紀末，隨著小波分析的迅速發(fā)展，小波開始用于邊緣檢測。因為邊緣處梯度的絕對值取得最大值，也就是灰度圖像的拐點是邊緣?，F(xiàn)階段，邊緣檢測的方法主要有以下幾種： （ 1）檢測梯度的最大值。例如美國波音公司開發(fā)的雷達自成像識別系統(tǒng)就廣泛應用于美國空軍戰(zhàn)機之間的敵我識別 ； 日本 CANNON 公司將其開發(fā)的最新的邊緣檢測技術(shù)應用于最新產(chǎn)品 DIGIC4 圖像處理器，大大提高了拍攝的清晰度 。 第二，憑經(jīng)驗我們知道，只要能成功的得到圖像的邊緣，圖像的分析就會大大簡化，識別也會容易得多。第二種為階躍型邊緣，它的灰度變化是從一個值到比它高很多的另一個值。 Poggio 在參考文 獻 【 1】 中提到“ 物體（的邊界）或許并沒有對應著圖像中物體（的邊界），但是邊緣具有十分令人滿意的性質(zhì)，它能大大減少所要處理的信息但是又保留了圖像中物體的形狀信息。然而在所有獲取視覺信息的途徑中，圖像無疑是最主要的方式。1 第一章 緒 論 1． 1 研究背景及意義 視覺，是人類取得信息的最主要來源。我們每天都是在報紙、雜志、書籍、電視等大量的圖像信息中度過來的?！彼€定義了邊緣檢測為“主要是（圖像的）灰度變化的度量、檢測和定位”。最后一種是線性邊緣，它的灰度值是從一個級別 跳到另一個級別之后，再跳回來。 第三，很多圖像并沒有具體的物體，對這些圖像的理解取決于他們的紋理性質(zhì)而提取這些紋理性質(zhì)與邊緣檢測有著密切的聯(lián)系。 隨著算法的不斷更新和計算機等各種設備的不斷進 步，邊緣檢測在圖像信息獲取2 等各 領(lǐng)域 的應用將會更加廣泛。因為邊緣通常發(fā)生在灰度值變化較大的地方，對應的就是函數(shù)梯度較大的地方，所以一種比較理想的方法就是尋找好的求導算子。 （ 3）統(tǒng)計型方法。作為研究非平穩(wěn)信號的利器，小波在邊緣檢測方面具有得天獨厚的優(yōu)勢。 掌紋是指手腕與手指之間的手掌表面的上的各種紋線。 （ 2）點特征主要是指手掌的皮膚表面特征 如掌紋 突紋在局部形成的奇異點及紋形。利用掌紋 圖像3 中 的紋線特征、點特征 和紋理特征足以準確無誤的確定一個人的身份。 1． 3． 2 基于圖像的 掌紋識別算法 到目前為止，研究人員已經(jīng)在 基于圖像處理的 掌紋識別領(lǐng)域做了大量的研究并取得了一定的成果。點特征可以精確的描述掌紋圖像，且鑒別能力高、魯棒性 【 3】 強。 采用紋理分析方法處理掌紋圖像可以很好的避免圖像在空域中噪聲的影響，簡化圖像預處理步驟。 （ 4）分級融合的掌紋識別方法。 通過融合，識別的精度和速度都會有很大的提高。但是由于掌紋識別技術(shù)起步較晚，目前尚處于學習和借鑒其他生物特征識別技術(shù)的階段。然后在基于小波多尺度邊緣檢測的方法上改進算法，采用三階 B樣條函數(shù) 【 8】 作為相應的尺度函數(shù)。 第二章是傳統(tǒng)的 圖像 分析與處理方法。之后深入研究了小波變換在圖像處理領(lǐng)域的廣泛應用。 第五章是小波多尺度邊緣檢測。即系統(tǒng)的總結(jié)了本文研究成果以及存在的不足，然后提出了后續(xù)研究工作的方向。 在圖像的處理技術(shù)中，正交變換技術(shù) 有著廣泛的應用，是圖像處理的一種重要工具。本章，先對傳統(tǒng)的 Fourier 變換和 Gabor 變換做初步的研究，為后面的小波理論打下基礎(chǔ)。因此，引入了 Fourier 變換對非周期信號進行分析。正因為這種周期性的存在，在圖像顯示時，這兩個變量的取值范圍是 1w ??? ， 2w ?? 。 2． 1． 2 Fourier 變換 在圖像處理中的應用 （ 1） 線性濾波器頻率響應 由信號與系統(tǒng)中的知識可知，濾波器沖激響應的 Fourier 變換 就是該濾波器的頻率響應。將該性質(zhì)與 FFT 結(jié)合起來，便可以快速計算函數(shù)的卷積。 在數(shù)字圖像處理中，相關(guān)運算常用于匹配模板，可以用于對某些模板對應的特征進行定位。這個窗的存在使單變量函數(shù)變換成了兩個參數(shù)的新函數(shù)，給出窗的中心位置的時間參數(shù)和計算加窗后信號的 Fourier 變換 得到的頻率參數(shù)。 （ 2）一般的窗函數(shù) g(t)=g(t)是實對稱的，但在定義和后面的假設中，我們不做如此的假定。 離散 Gabor 變換定義為： ,( )( , ) , mnG f m n f g? （ 27） 二重序列 , , ,( )( , ) ( ) , ( )m n m n m nm n m nG f m n g t f g g t??? ? ? ? ? ???? （ 28） 稱為 f的 Gabor 級數(shù)。但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，這對于某些瞬態(tài)信號來說還是不夠精確的。以后提到信號 f(t)都是指它是能量有限的。還有，由積分的幾何意義可以看出 ()t? 的圖像與 x軸所夾的上半部分的面積與下半部分面積 是 相等的。 0ab tbt a a b R aa??? ?? ? ? （ 39） 在式中： a為尺度參數(shù)， b為位移參數(shù)，這時我們有 2 22 12, ( ) ( ) ( )ab tbt a d t t d ta? ? ? ????? ? ? ??? ? ??? （ 310） 即 小 波經(jīng)（ 39）式的 方程 伸縮和平移后的函數(shù)的范數(shù)等于原來小波的范數(shù)。下面主要討論小波變換的定義和一些性質(zhì)。下面介紹如何用小波變換 ? ?( , )W f a b? 重構(gòu) f(t)： 首先，假定 2()LR?? ，為了由連續(xù)小波變換式（ 310）重構(gòu) f(t)，需要 ()t? 滿足12 容性條件： 1 2? ()C w w? ?????? ? ?? （ 312） 基小波的 定義：如果 2()LR?? 并且滿足（ 312）的條件，則稱 ? 為一個基小波。 如果 ? 為一個基小波，它定義了一個連續(xù)小波變換 ? ?( , )W f a b? ，則 對于任何2()f L R? 和 f 的連續(xù)點 tR? ，有： , 21( ) [ ( ) ( , ) ] ( )ab daf t W f a b t d bCa?? ???? ? ? ?? ?? （ 313） 上式便是由 ? ?( , )W f a b? 重構(gòu) f(t)的公式。對于固定的伸縮步長 0 1a? ，可選取 0maa? ， mZ? ，為不失其一般性可假定 0 1a? （或 0 1a? ）。這時，相應的離散族為： 2200, 0 0 0 00( ) ( ) ( )mm m mmn mt n b at a a a t n ba? ? ?? ? ??? ? ? （ 315） 相應的離散小波變換為： ,( ) ,m n m nW f f? ?? （ 316） 要用函數(shù)的離散小波變換 , ()mnWf? 數(shù)值 穩(wěn)定的重構(gòu) ()ft ，就需要離散族 ? ?, ()mnt? 是2()LR空間的一個框架或一個基。注意到小波變換的定義式（ 39），式（ 318）正好是式（ 39）中 1 2 , 2kka b n??的情形，這時，小波系數(shù)變成： , 1