【正文】 Krarup）提出最小二 乘慮波，也稱為擬和推估法。所以，后人稱它為高斯－勒戎德爾方法。這就需要根據(jù)這些帶有誤差的觀測結(jié)果求出該星運行的實際軌道。 1794 年，年僅 17 歲的高斯（ C． F Gauss）首先提除了這個問題的解決方法 —— 最小二乘法。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進行多余觀測。 平差數(shù)學(xué)模型采用間接平差，平差成果以表格形式顯示，成果還包括一些重要的網(wǎng)行參數(shù)和平差參數(shù)，成果表格以不同顏色顯示已知值和平差值，由于受時間的限制，平差軟件只 實現(xiàn)了簡易平差的水準(zhǔn)網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)、單三角鎖，嚴(yán)密平差的 單導(dǎo)線（符合導(dǎo)線、閉合導(dǎo)線和無 定向?qū)Ь€）平差、導(dǎo)線網(wǎng)平差和高斯正反算、坐標(biāo)換帶、交會計算等。 操作簡單，便于使用， 提高軟件的直觀性是本軟件的主要設(shè)計宗旨。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結(jié)果并評定測量成果的精度。他是根據(jù)偶然誤差的四個特性，并以算術(shù)平均值為待求量的最或然值出發(fā)，導(dǎo)出了偶然誤差的概率分布，給出了在最小二乘原理下求待定量最或然值的計算方法。高斯用自己提出的最小二乘法解決了這個當(dāng)時很大的難題，對谷神星運行軌道進行了預(yù)報，使天文學(xué)家及時的又找到了這顆彗星。 自 19 世紀(jì)初到 20世紀(jì)五六十年代的一百多年來，測量平差學(xué)者在基于最小二乘原理的平差方法上做了許多研究，提出了一系列解決各類測量問題的平差方法，針對這一時期的計算工具的情況，提出了許多分組解算線性方程組的方法，達到了簡化計算的目的。 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計 2 4． 1962 年，邁賽爾（ P ． meissl）提出針對非滿秩平差問題的內(nèi)制約束平差原理。 40√ Lmm或177。 導(dǎo)線網(wǎng)中導(dǎo)線點和路線的編號規(guī)則：與水準(zhǔn)路線基本相同。 180 α前 =α后 β右177。坐標(biāo)增量 有縱坐標(biāo)增量Δ X 與橫坐標(biāo)增量Δ Y 隨著導(dǎo)線邊所處的象限不同，坐標(biāo)增 量有正負之分。即∑ X 理 =0，∑ Y 理 =0， 因為坐標(biāo)增量就是兩導(dǎo)線點的坐標(biāo)之差，而閉合導(dǎo)線是從已知點開始，最后又閉合到同一點上，那么同一點坐標(biāo)增量應(yīng)該等于零，其與理論值不相符的數(shù)值稱為縱、橫坐標(biāo)增量的閉合差： 閉合導(dǎo)線： fx=∑Δ X fy=∑Δ Y 附合導(dǎo)線： fx=∑Δ X（ X 終 Y 始） fy=∑Δ Y（ X 終 Y 始） 由于 fx、 fy 的存在，使得閉合導(dǎo)線起算點的起算坐標(biāo)與通過坐標(biāo)增量計算出的坐標(biāo)兩者不相等。在導(dǎo)線測量中，用 fD與導(dǎo)線邊全長之比 fD/∑D 來衡量測量的精度。 坐標(biāo)增量閉合差 fx、 fy 的調(diào)整方法是按照與導(dǎo)線邊長成正比例的原則，反符號分配到各坐標(biāo)增量中。但是由于所測水平角存在著不可避免的誤差，使得各三角形內(nèi)角和不等于 180176?！獭?fi*fi/3n 若 f i 小于限差要求，則將其反符號平均分配給各內(nèi)角觀測值，并計算出第一次改正后的各內(nèi)角角值： a′ i =aifi/3 b′ i =bifi/3 c′ i =cifi/3 經(jīng)過第一次角度閉合差調(diào)整后的各三角形，其內(nèi)角和應(yīng)等于 180176。 D23= D0/sinb″ 1*sina″ 1 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計 8 D13= D0/sinb″ 1*sinc″ 1 5. 各三角形坐標(biāo)推算 各三角點坐標(biāo)的計算可根據(jù)坐標(biāo)起算數(shù)據(jù)、第二次調(diào)整后的各三角形內(nèi)角及推算出的邊長，按照閉合導(dǎo)線 1—— 2—— 4—— 6—— 7—— 5—— 3—— 1 計算各點坐標(biāo)。 間接平差函數(shù)模型： 1,1,1, nttnn lXB ??? （ 1） 間接平差隨機模型： nnnnnn PQD , 120,20, ??? ?? （ 2） 用參數(shù)的估值 ^X 和Δ的估值 V代入，可以寫成： 1,1,1, nttnn lXBV ??? （ 3） 表達了參數(shù)估值 ^X 與觀測值改正數(shù) V之間的函數(shù)關(guān)系，稱為誤差方程。按具體平差問題，可列 n 個平差值方程為： ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????iinnnnnnvLdXtXbXavLdXtXbXavLdXtXbXa2122222212111t12111 (i=1,2,?， n) 令： 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計 9 ? ?Tnn LLLL ...211, ? Ttt XXXX ???????^^2^1^1, ... ? ?Tnn vvvV ...211, ? ? ?Tnn dddd ...211, ? ?????????????nnntntbatbatbaB.....................222111, 則平差值方程的矩陣形式為 dXBVL ??? ^ （ 4） 令 ^0^ xXX ?? )( 01, dBXLln ??? （ 5） 式中 X0為參數(shù)的充分近似值，于是得誤差方程為： lxBV ?? ^ （ 6） 按最小二乘原理，上式的 ^x 必須滿足 VTPV=min 的要求，因為個參數(shù)為獨立量，故可按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由極值的方法，得 0/*2/ ^^ ??????? PBVxVPVxPVV TTT 轉(zhuǎn)置后得 BTPV=0 （ 7） 以上所得的 (6)和 (7)式中的待求量是 n 個 V和 t 個 ^x ，而方程個數(shù)也是 n+t 個，有唯一解，稱此兩式為間接平差的基礎(chǔ)方程。 首先，對于 k 從 0 到 n1 作如下幾步： a) 從第 k 行、第 k 列開始的右下角子陣中選取絕對值最大的元素，并記住此元素所在的行列號，再通過行交換和列交換將它交換到主元素位置上。1,1,0, e) kjiniaaa ijkkik ???????? ,。 矩陣的其它計算比較簡單，在這里不再說明。 由第一個條件可知，由于地球橢球體是一個旋轉(zhuǎn)體，所以高斯投影必然有這樣一個性質(zhì)，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線。 由第三個條件： ,//// qylxqxly ??????????? 和將式 （ 1） 分別對 l和 q求偏導(dǎo)數(shù)代入，得 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計 12 m1+3m3l2+5m5l4+?? =dm0/dq+dm2/dq*l2+dm4/dq*l4+?? 2m2l+4m4l3+?? =dm1/dq*ldm/dq*l3?? （ 2） 為使上面兩式兩邊相等，其必要而充實的條件是 l的同次冪的系數(shù)相等，因而有 m1=dm0/dq m2=1/2dm1/dq （ 3） m3=1/3dm2/dq 為要最終的求出待定系數(shù)??，顯示矛盾的焦點在于求得導(dǎo)數(shù) dm0/dq。時，公式換算的 精度為177。 反算公式的 推導(dǎo)方法和正算公式相類似，它的基本思想是，首先根據(jù) x 計算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的垂足緯度 Bf,接著按 Bf計算（ BfB）及經(jīng)差 l，最后得到 B=Bf（ BfB） L=L0+l （ 12） 為了簡化差值（ BfB）及 l的計算公式的推導(dǎo)，我們還是借助于等量緯度 q。由式可知， q 和 B 必有固定的函數(shù)關(guān)系，今設(shè) B=f（ q）， Bf= f（ qf） （ 15） B=f（ q） = f（ qf+ dq） （ 16） dq=q qf 式中 按臺勞級數(shù)展開則有 B= f（ qf） + （ dB/dq） dq+1/2（ d2B/dq2） +1/6（ d3B/dq3） dq3+?? 因此 （ 17） （ BfB） = B Bf=（ dB/dq）（ q qf） +1/2（ d2B/dq2）（ q qf） 2 +1/6（ d3B/dq3）（ q qf） 3+?? （ 18） 為了求得高斯坐標(biāo)的實用反算公式，我們必須求出 （ 14） 式和 （ 18） 式中的各階導(dǎo)數(shù)值 dnq/ d Xn和 dnB/ d qn。時，上式換算精度為 ″。直接換算法有幾種不同的公式和相應(yīng)的計算用表 ,它們的精度有所不同。下面就介紹 間接換算法的有關(guān)公式 :(1)高斯投影反算公式①求 P點的大地緯度 B(單位 :度 ): B=Bf1+η 2fπ tf〔 90(y/Nf)(5+3t2f+η 2f9η 2ft2f) (y/Nf)4+(61+90t2f+45t4f)(y/Nf)6〕 （ 26） ②求 P 點距Ｉ帶中央子午線 L 中Ｉ的經(jīng)差 lＩ (單位 :度 ): ｌ Ｉ =1/ π cosBf(180(y/Nf)30(1+2t2f+ η 2f)(y/Nf)3+(5+28t2f+24t4f+6 η 2f+8 η2ft2f)(y/Nf)5) (27) 公式 26 和公式 27中 :η f=ｅ′ cosBf 其中ｅ′ = 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計 18 Ｎ f=ｃ / fBe 22 c os1 ?? 其中ｅ′ 2= tf=tgBf ｃ =(ｍ ) 現(xiàn)在 ,以上所有公式中只有一個未知數(shù) Bf,它叫做底點緯度或垂足緯度 ,是縱坐標(biāo)x1(以千公里為單位 )的一元函數(shù) , Bf的單位為“度”。 B α 2 β 1 C β 2 α 1 A γ 2γ 1 ε P D 測邊交會：已知兩點的坐標(biāo)，通過測的它們到已知點的距離，求出未知點的坐標(biāo)。 南方測繪儀器公司的“平差易” （ Power Adjust 2020， 簡稱 PA2020）是在 Windows系統(tǒng)下用 VC 開發(fā)的控制測量數(shù)據(jù)處理軟件，也是南方測繪 Adjust（南方平差大全）軟件的升級產(chǎn)品。 清華大學(xué)