【正文】 ??? ，求 y? ； 【例題 2】設(shè) xxy sin? ，求 y? ； （二）參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) )(xfy? 由 ??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導(dǎo)，求 dxdy 及 22dxyd。 2)( v vuvuvu ????? ； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 （ 1） 211)(arcsin xx ???； （ 2） 211)(a rc c o s xx ????； （ 3） 21 1)(arctan xx ??? ； （ 4） 21 1)c ot( xxarc ???? 。 1)( ??? aa axx ，特別地 ????????????xxxx21)(1)1(2。 【注解】 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 定理 4 （ 1）設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 情形一：設(shè) }{na 單調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則 nn a??lim 存在。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯一性。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱 ax? 為)(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 （ 2）函 數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 【例題 6】計(jì)算極限 3tan0lim xee xxx?? 。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無窮小 1） )1ln (~1~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 【注解】 （ 1）無窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無窮小之和、差、積為無窮小。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim 。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx 。 3） ?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c o s2c o s 200??。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()( ，其中 a 為任意常數(shù)。 （ 7 ）（ 積 分 中 值 定 理 ） 設(shè) ],[)( baCxf ? ， 則 存 在 ],[ ba?? ，使得))(()( abfdxxfba ??? ?。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf 。 五、定積分性質(zhì) 基本性質(zhì) （ 1） ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 。 【例題 2】設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfxF 0 22 )()( ，求 )(xF? 。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無關(guān)。 【例題 2】設(shè) A 為 n 階可逆陣，證明 A 的逆陣是唯一的。 （ 3） )}(),(m in {)( BrArABr ? ，等價(jià)于 ??? ?? )()( )()( BrABr ArABr。 （ 3） 2)( ?Ar 的充分必要條件是 A 至少有兩行不成比例。矩陣可逆、滿秩及非奇異等價(jià)。 （二）矩陣的秩（記?。涸诜匠探M中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件） 定義 — 設(shè) A 為 nm? 矩陣，若 A 存在一個(gè) r 階非零子式，但所有的 1?r 階子式（如果有）都是零，則 r 稱為 A 的秩，記為 rAr ?)( 。 性質(zhì)： 1） 0|)(| ??ccEi ； 2） )1()(1 cEcE ii ?? ； 3） AcEi )( 為將 A 的 i 行乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣， )(cAEi 為將 A 的 i 列乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣。 第二步 矩陣的三種初等行變換 （ 1）對(duì)調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行同乘以一個(gè)非零常數(shù)； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。 （ 2）第二、三兩種情形產(chǎn)生矩陣的另一個(gè)核心問題 — 矩陣的秩。 【例題 3】討論方程組 ??? ?? ?? 422 12121 xx xx解的情況，并分析原因。 令 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nxxxX ?21，???????????????mbbbb ?21，則（ 1）、（ 2）可分別表示為矩陣形式： OAX? （ 1） 及 bAX? （ 2） 對(duì)方程組（ 1）： 【例題 1】討論方程組 ??? ?? ?? 02 02121 xx xx解的情況，并分析原因。 （ 3）含方陣 BA, 的矩陣多項(xiàng)式可象普通多項(xiàng)式一樣因式分解的充分必要條件是BAAB? 。 （ 2）數(shù)與矩陣之積： ???????????????mnmmnnkakakakakakakakakakA???????212222111211。一切都做了，離成功就近了，好運(yùn)與機(jī)遇就會(huì)降臨。 同型矩陣 — 行數(shù)和列數(shù)相同 的矩陣稱為同型矩陣。 特殊矩陣有 （ 1）零矩陣 — 所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣。 【解答】 ???? ????? 2044224 )1s in1s in(1s in??? dxe xe xdxe x xxx 16322143s ins in)1 11 1( 420 420 4 ???? ?????????? ?? ? Ix d xx d xee xx 。 如 ??? ???? 2022224342 s in2s ins in ????? x dxx dxx dx 。 【解答】 ?? ????? aaa dxxgxfxgxfdxxgxf 0 )]()()()([)()( ?? ???? aa dxxgAdxxgxfxf 00 )()()]()([ 。 六、定積分的 特殊性質(zhì) 對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的定積分性質(zhì) 設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，則 （ 1）則 ?? ???? aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(。 定理 2 （牛頓 — 萊布尼 茲公式）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )(xF 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba ??? 。 【例題 1】設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx0 )()()(?，求 )(x?? 。 四、定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()(，則 )(x? 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 【證明】 ???? ??ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( ??， 因?yàn)?0)( ?xf ，所以 0)( ?if ? ， 又因?yàn)?ba? ，所以 0??ix ，于是 0)(1 ????ni ii xf ?，由極限保號(hào)性得 0)(lim 10 ????? ni ii xf ?? ，即 0)( ??ba dxxf 。 ?? ? baba dxxfkdxxkf )()(。 【例題 1】求極限 ???? ?nin nin1211lim 。 【例題】當(dāng) ],[ bax? 時(shí)，令??? ??? QRx Qxxf \,0,1)(，對(duì)ini i xf ???? )(lim 10 ??， 情形一：取所有 )1( niQi ???? ，則 abxxfiniini i ????? ?? ???? 1010 lim)(lim ?? ?； 情形二：取所有 )1(\ niQRi ???? ，則 0)(lim10 ????? ini i xf ??， 所以極限ini i xf ???? )(lim 10 ??不存在，于是 )(xf 在 ],[ ba 上不可積。 （ 1）取 bttta n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn ttttttba ????? ?， 其中 )1(1 nittt iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，ini i tfS ???? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，則ini i xfS ?? ??? )(lim 10 ?? 曲邊梯形的面積 — 設(shè)曲線 )(0)(: bxaxfyL ???? ，由 bxaxL ?? , 及 x 軸圍成的區(qū)域稱為曲邊梯形，求其面積。 （ 1）取 bxxxa n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn xxxxxxba ????? ?， 其中 )1(1 nixxx iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，ini i xfA ???? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，則ini i xfA ?? ??? )(lim 10 ??。 （ 2） ???? n0? ，反之不對(duì)。 【解答】 ?? ??????101 21211lim dxxnin nin。 ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 （ 1） )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ??。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 【解答】 ??? ???? xxx dtttfdttfxdttftxx000 )()()()()(?， ?? ????? xx dttfxxfxxfdttfx 00 )()()()()(? ， )()( xfx ???? 。 【證明】由 )()(),()( xfxxfxF ?? ??? 得 0)()(])()([ ?????? xfxfxxF ， 從而 tconsxxF ta n)()( ??? ， 于是 )()()()( aaFbbF ????? ，注意到 0)( ??a ， 所以 )()()( aFbFb ??? ，即 )()()( aFbFdxxfba ???。 （ 2）若 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （ 2）計(jì)算 ??22 |sin|a rc ta n?? dxxe x。 （ 2） ?? ? TnT dxxfndxxf00 )()(。 【例題 2】計(jì)算 ?