20xx屆四川省成都市第十二中學(xué)(川大附中)高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題(含解析)-wenkub
2025-04-05 06 本頁面
【正文】 ，列聯(lián)表如下表：態(tài)度性別滿意不滿意合計(jì)男生253560女生301040合計(jì)5545100因此，∴有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”.19．如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形, 底面,是的中點(diǎn).（1）.求證:平面平面。（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】試題分析：（1）根據(jù)平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ） 平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又，所以平面平面．（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則取，則為面法向量．設(shè)為面的法向量，則，即，取，則依題意，則．于是．設(shè)直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值為．20．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交于點(diǎn)，則直線，的斜率分別為，且，其中是非零常數(shù)，則直線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn).【分析】（1）由題可得，再結(jié)合即可求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出韋達(dá)定理，求出，結(jié)合韋達(dá)定理可得與的代換式，代入整理成點(diǎn)斜式即可求解【詳解】（1）因?yàn)椋拿娣e，且，故解得，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）假設(shè)，直線與橢圓聯(lián)立得消去整理得，則，又因?yàn)椋?，則，即，代入韋達(dá)定理得，即，化簡得，因?yàn)椋瑒t，即，代入直線得，所以恒過，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，由直線與橢圓的位置關(guān)系求證直線過定點(diǎn)問題，韋達(dá)定理的使用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題21．已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）當(dāng)時(shí)，討論方程的根的個(gè)數(shù)；（3）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和討論函數(shù)的單調(diào)性，特別注意當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)在上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和的值的符號(hào)，討論在時(shí)，方程的零點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，得出在上為增函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由該函數(shù)為減函數(shù)，得到在恒成立，分離參數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e.（2）由，得.若，則在上，函數(shù)在上為增函數(shù)，由知，方程的根的個(gè)數(shù)是0；若，由，得（舍）或，若，即，在上為增函數(shù)，由知，方程的根的數(shù)是0；若，即，在上為減函數(shù)，又，所以方程在上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；若，即，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，
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