中考數(shù)學(xué)壓軸題最后沖刺分類強(qiáng)化訓(xùn)練2-拋物線與三角形(已修改)
2025-08-22 18:59 本頁(yè)面
【正文】 中考數(shù)學(xué) 壓軸題 最后 沖刺 分類強(qiáng)化訓(xùn)練 2拋物線與三角形 1． 如圖，拋物線 y=ax2 + bx + c 交 x軸于 A、 B兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn) C，對(duì)稱軸為直線 x=1,已知： A(1,0)、C(0,3)。 （ 1）求拋物線 y= ax2 + bx + c 的解析式； （ 2）求△ AOC和△ BOC的面積比； （ 3）在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè) P點(diǎn) ,使△ PAC的周長(zhǎng)最小。 若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由。 解：（ 1）∵拋物線與 x軸交于 A(1,0)、 B兩點(diǎn) ,且對(duì)稱軸為直線 x=1， ∴點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 3， 0），∴可設(shè)拋物線的解析式為 y= a（ x+1） (x3) 又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C(0,3)，∴ 3=a（ 0+1） (03) ∴ a=1,∴所求拋物線的解析式為 y=（ x+1） (x3)， 即 y=x22x3 （ 2）依題意，得 OA=1,OB=3, ∴ S△ AOC∶ S△ BOC=12 OA OC∶ 12 OB OC=OA∶ OB =1∶ 3 （ 3）在拋物線 y=x22x3上，存在符合條件的點(diǎn) P 。 解法 1：如圖， 連接 BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn) P,連接 AP、 AC。 ∵ AC長(zhǎng)為定值，∴要使△ PAC的 周長(zhǎng)最小，只需 PA+PC最小。 ∵點(diǎn) A關(guān)于對(duì)稱軸 x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) B（ 3， 0），拋物線 y=x22x3與 y軸交點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 0， 3） ∴由幾何知識(shí)可知， PA+PC=PB+PC為最小。 設(shè)直線 BC的解析式為 y=kx3 ,將 B（ 3， 0）代入得 3k3=0 ∴ k=1。 ∴ y=x3 ∴當(dāng) x=1時(shí)， y=2 .∴點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 1， 2） 解法 2：如圖，連接 BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn) P,連接 AP、 AC。設(shè)直線 x=1交 x軸于 D ∵ AC長(zhǎng)為定 值，∴要使△ PAC的 周長(zhǎng)最小，只需 PA+PC最小。 ∵點(diǎn) A關(guān)于對(duì)稱軸 x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) B（ 3， 0），拋物線 y=x22x3與 y軸交點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 0， 3） ∴由幾何知識(shí)可知， PA+PC=PB+PC為最小。 y A B O C 1 1 x 第 1 題圖 P D y A B O C 1 1 x 第 25 題圖 P D ∵ OC∥ DP ∴△ BDP∽△ BOC ?！?,BOBDOCDP? 即 323 ?DP ∴ DP=2 ∴點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 1， 2） 已知直線 y＝ kx＋ 6（ k0）分別交 x軸、 y軸于 A、 B兩點(diǎn)，線段 OA上有一動(dòng)點(diǎn) P由原點(diǎn) O向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 2個(gè)單 位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn) P作 x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn) C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒． （ 1）當(dāng) k＝－ 1時(shí)，線段 OA上另有一動(dòng)點(diǎn) Q由點(diǎn) A向點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn) P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖 1）． ①直接寫出 t＝ 1秒時(shí) C、 Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)； ②若以 Q、 C、 A為頂點(diǎn)的三角形與△ AOB相似，求 t的值． （ 2）當(dāng) 時(shí)，設(shè)以 C為頂點(diǎn)的拋物線 y＝ (x＋ m)2＋ n與直線 AB的另一交點(diǎn)為 D（如圖 2），①求CD的長(zhǎng)； ②設(shè)△ COD的 OC邊上的高為 h，當(dāng) t為何值時(shí)， h的值最大？ 解：（ 1）① C（ 2， 4）， Q（ 4， 0） ②由題意得： P（ 2t， 0）， C（ 2t，－ 2t＋ 6）， Q（ 6－ 2t， 0） 分兩種情況討論： 情形一：當(dāng)△ AQC∽△ AOB時(shí)，∠ AQC＝∠ AOB＝ 90176。，∴ CQ⊥ OA． ∵ CP⊥ OA，∴點(diǎn) P與點(diǎn) Q重合， OQ＝ OP，即 6－ 2t＝ 2t，∴ t＝ 情形二：當(dāng)△ AQC∽△ AOB時(shí)，∠ ACQ＝∠ AOB＝ 90176。，∵ OA＝ OB＝ 3， ∴△ AOB是等腰直角三角形，∴△ ACQ也是等腰直角三角 形，∵ CP⊥ OA，∴ AQ＝ 2CP，即 2t＝ 2（－ 2t＋ 6），∴ t＝ 2，∴滿足條件的 t的值是 2秒． （ 2）①由題意得： C（ 2t， ）， ∴以 C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是 ， 由 解得 過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ CP于點(diǎn) E，則∠ DEC＝∠ AOB＝ 90176。． ∵ DE∥ OA，∴∠ EDC＝∠ OAB， ∴△ DEC∽△ AOB，∴ ，∵ AO＝ 8， AB＝ 10， DE＝ ，∴ CD＝ ． ②∵ ， CD邊上的高＝ ， ∴ S△ COD為定值．要使 OC邊上的高 h的值最大，只要 OC最短，當(dāng) OC⊥ AB時(shí) OC最短，此時(shí) OC的長(zhǎng)為 ，∠ BCO＝ 90176。， ∵∠ AOB＝ 90176。∴∠ COP＝ 90176。
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