高中數(shù)學(xué)題庫_a集合與簡(jiǎn)易邏輯一元二次不等式(已修改)
2025-08-20 11:37 本頁面
【正文】 求使不等式 ax2+4x1≥ 2x2a 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立的 a 的取值范圍。 答案： 由不等式得 (a+2)x2+4x+a1≥ 0. ① ①對(duì)任意 x∈ R 成立。 ?。┊?dāng) a=2 時(shí)，①化為 4x≥ 3,當(dāng) x43 時(shí)不成立。 ⅱ）當(dāng) a2 時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)①不恒成立。 ⅲ）當(dāng) a2 時(shí)，△ =4 [4(a+2)(a1)]≤ 0，即 a2+a+2≥ 4，得 a≥ 2，或 a≤ 3，綜上所述， a≥ 2。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：中檔 已知不等式組??? ?? ???? 12 022 ax aaxx ①②的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求 a 的取值范圍。 答案： 因?yàn)榉匠?x2x+aa2=0 的兩根為 x1=a, x2=1a, 若 a≤ 0，則 x1x2.①的解集為 ax1a，由②得 x12a. 因?yàn)?12a≥ 1a，所以 a≤ 0,所以不等式組無解。 若 a0，ⅰ）當(dāng) 0a21時(shí)， x1x2,①的解集為 ax1a. 因?yàn)?0ax1a1，所以不等式組無整數(shù)解。 ⅱ）當(dāng) a=21時(shí)， a=1a，①無解。 ⅲ）當(dāng) a21時(shí)， a1a，由②得 x12a， 所以不等式組的解集為 1axa. 又不等式組的整數(shù)解恰有 2 個(gè)， 所以 a(1a)1 且 a(1a)≤ 3， 所以 1a≤ 2，并且當(dāng) 1a≤ 2 時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解 0， 1。 綜上， a 的取值范圍是 1a≤ 2. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 已知 f(x)=ax2+bx+c 在 [0， 1]上滿足 |f(x)|≤ 1,試求 |a|+|b|+|c|的最大值。 答案： 因?yàn)????????????????????cbafcbafcf)1(21421)0(，所以????????????????????????????)0()0(3)1(214214)0(2)1(2fcfffbfffa， 所以 |a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)4f ??????21|+|4f ??????21f(1)3f(0)|+|f(0)| ≤ 3+|f(1)|+8|f ??????21|+6|f(0)|≤ 17. 另一方面，對(duì)于二次函數(shù) f(x)=8x28x+1，當(dāng) x∈ [0,1]時(shí)， |f(x)|≤ 1,且 |a|+|b|+|c|=17，所以|a|+|b|+|c|的最大值為 17。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 對(duì)任意 x∈ [0,1],有?????????????0304222kkxxkkxx 成立，求 k 的取值范圍。 答案： 當(dāng) x∈ [0,1]時(shí)，有 x22kx+k40 成立。 記 f(x)=x22kx+k4，當(dāng)且僅當(dāng)??? ??0)1( 0)0(ff時(shí) 3k4. 記 g(x)=x2kxk+3. 當(dāng) x∈ [0,1]時(shí)， g(x)0，由 g(1)0 可得 k2. ⅰ）當(dāng) 0≤ k2 時(shí)， 2k ∈ [0， 1]， g(x)0 當(dāng)且僅當(dāng) 04)3(4 2 ??? kk ，即 6k2，亦即 0≤ k2； ⅱ）當(dāng) k0 時(shí)， ]1,0[2?k ， g(x)0 當(dāng)且僅當(dāng) g(1)0，即 k2。 綜上所述，對(duì)任意 x∈ [0， 1]，不等式組成立。當(dāng)且僅當(dāng) 3k2. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 設(shè) f(x)=ax2+bx+c， a,b,c∈ R, a100，試問滿足 |f(x)|≤ 50 的整數(shù) x 最多有 幾個(gè)？ 答案： f(x)=a(xx0)2+f(x0)。 ?。┤?|f(x0)|≤ 50，因?yàn)闈M足 |nx0|1 的整數(shù)至多有 2 個(gè)，所以滿足 |f(x)|≤ 50 的整數(shù) x 至多有 2 個(gè)。 ⅱ）若 |f(x0)|50，若 f(x0)50，則 |f(x)|≤ 50 無解；若 f(x0)50，設(shè) |f(n)|≤ 50,|f(n+k)|≤ 50,若 k≥ 1,則 |f(n+k)f(n)|=|ak(2n+k2x0)|≤ 100. 則 k|2n+k2x0|1，若 n≥ x0，則 k 無解，所以滿足 n≥ x0且 |f(x)|≤ 50的整數(shù) x至多有 1個(gè)。同理可得若 nn+k≤ x0,則若 k≥ 1,|k(2n+k2k0)|1. ① 因?yàn)?|k(2n+k2k0)|=|k(2n+2k2k0k)||k|≥ 1， 所以滿足①的 k 也不存在。 所以滿足 |f(x)|≤ 50 的整數(shù)最多有 2 個(gè)。 例如， f(x)=101 221?????? ?x,當(dāng) x=0,1 時(shí)有 |f(x)|50. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 解關(guān)于 x的不等式： mx23(m+1)x+90(m∈ R) 答案： (1)m=0 時(shí) 3x+90 ∴ x3 (2)m≠ 3 時(shí) 0)3)(3( ??? xmxm當(dāng) m0 時(shí) 33 ??xm 當(dāng) m0 時(shí) 10 0m1 時(shí)， 33 ?? xmx 或 20 m=1 時(shí)， x≠ 3 30 m1 時(shí)， x3 或mx 3? 來源： 題型：解答題，難度：中檔 已知函數(shù) )(xf 是定義在 ? ?2,2? 上的奇函數(shù)， 當(dāng) )0,2[??x 時(shí)， 321)( xtxxf ??（ t 為常數(shù)）。 （ 1）求函數(shù) )(xf 的解析式； （ 2）當(dāng) ]6,2[?t 時(shí)，求 )(xf 在 ? ?0,2? 上的最小值，及取得最小值時(shí)的 x ，并猜想 )(xf在 ? ?2,0 上的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）； （ 3）當(dāng) 9?t 時(shí)，證明：函數(shù) )(xfy? 的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落在直線 14?y 上。 答案： （ 1） ? ?2,0?x 時(shí)， ? ?0,2???x ， 則 33 21)(21)()( xtxxxtxf ???????? ∵函數(shù) )(xf 是定義在 ? ?2,2? 上的奇函數(shù)，即 ? ? ? ?xfxf ??? ∴ ? ? 321 xtxxf ???? ，即 321)( xtxxf ?? ，又可知 ? ? 00 ?f ∴函數(shù) )(xf 的解析式為 321)( xtxxf ?? ， ? ?2,2??x （ 2） ? ? ?????? ?? 221 xtxxf，∵ ]6,2[?t ， ? ?0,2??x ，∴ 021 2 ?? xt ∵ ? ?? ?2783212121 332222222 txtxtxxtxxf ????????????? ??????????? ?? ∴ 2221 xtx ??，即 36,322 txtx ??? ? ?)0,236( ??? t 時(shí)， ttf 9 62m in ?? 。 猜想 )(xf
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