【正文】 第 1 頁 共 25 頁 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 高三新 數(shù)學 第一輪復習教案（講座 15） — 算法的含義、程序框圖 一．課標要求： 1． 通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如，二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義 ； 2． 通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中（如，三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán) 。 二．命題走向 算法是高中數(shù)學課程中的新內(nèi)容，本章的重點是算法的概念和算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)。 預測 20xx 年 高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在 5 分左右，考察的熱點是算法的概念。 三．要點精講 1．算法的概念 （ 1） 算法的定義： 廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等。 在數(shù)學中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。 （ 2） 算法的特征：① 確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、“不重不漏”。“不重”是指不是可有可無的、甚至無用的步驟，“不漏 ” 是指缺少哪一步都無法完成任務。②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務，不能無限制的持續(xù)進行。 （ 3） 算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。 2． 程序框圖 （ 1） 程序框圖的概念： 程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形； （ 2） 構(gòu)成程序框的圖形符號 及其作用 程序框 名稱 功能 起止框 表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的。 輸入、輸出框 表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。 處理框 賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)第 2 頁 共 25 頁 據(jù)的處理框內(nèi)。 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“ Y”；不成立時在出口處標明則標明“否”或“ N”。 流程線 算法進行的前進方向以及先后順序 循環(huán)框 用來表達算法中重復操作 以及運算 連結(jié)點 連接另一頁或另一部分的框圖 注釋框 幫助編者或閱讀者理解框圖 （ 3） 程序框圖的構(gòu)成 一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說明文字。 3．幾種重要的結(jié)構(gòu) （ 1）順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的。它是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。 見示意圖和實例： 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中， A 框和 B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完 A 框指定的操A B 示意圖 輸入 n flag=1 第 3 頁 共 25 頁 作后，才能接著執(zhí)行 B 框所指定的操作。 （ 2）條件結(jié)構(gòu) 如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件 P 是否成立，選擇不同的執(zhí)行框（ A 框、B 框）。無論 P 條件是否成立，只能執(zhí)行 A 框或B 框之一，不可能既執(zhí)行 A 框又執(zhí)行 B 框，也不可能 A 框、 B 框都不執(zhí)行。 A 框或 B 框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作。 見示意圖 （ 3）循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開始，按照 一定條件重復執(zhí)行某一處理過程。重復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。 ①當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當給定的條件 P 成立時，執(zhí)行 A 框， A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行 A 框，如此反復執(zhí)行 A 框，直到某一次返回來判斷條件 P 不成立時為止，此時不再執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 ②直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的 A 框，然后判斷給定的條件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行 A 框，再 判斷條件 P 是否成立。以次重復操作，直到某一次給定的判斷條件 P 時 成立為止，此時不再返回來執(zhí)行 A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 見示意圖 四．典例解析 題型 1：算法概念 例 1． 下列說法正確的是（ ） p A B Y N A 成立 不成立 P 當型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 成立 不 成立 P A 第 4 頁 共 25 頁 A．算法就是某個問題的解題過程； B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果； C．解決某一個具體問題算法不同結(jié)果不同； D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實施。 解析： 答案為選項 B；選項 B，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項 A ，算法不能等同于解法；選項 C，解決某 一個具體問題算法不同結(jié)果應該相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項 D，算法可以為很多次，但不可以無限次。 點評： 算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算。只要按部就班去做，總能算出結(jié)果。通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”。數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成；實際上處理任何問題都需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù)??。 例 2． 下列語句中是算法的個數(shù)為（ ） ①從濟南到巴 黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎； ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事； ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹； ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積。 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析： 正確選項為 C，③中我們對“樹的大小”沒有明確的標準，無法完成任務，不是有效的算法構(gòu)造。①中，勾畫了從濟南到巴黎的行程安排，完成了任務；②中，節(jié)約時間，燒水泡茶完成了任務；④ 中，純數(shù)學問題，借助正、余弦定理解三角形，進而求出三角形的面積。 點評：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結(jié)果。 題型 2：經(jīng)典算法 例 3． 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊。該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請設計算法？ 解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能 保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢，具體算法如下： 算法步驟： 第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回； 第二步：人帶一只狼過河，自己返回； 第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回； 第 5 頁 共 25 頁 第四步：人帶一只羊過河，自己返回； 第五步：人帶兩只狼過河。 點評： 算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?。這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中， 很多較復雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。 例 4． 這是中國古代的一個著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿 48，要數(shù)腦袋 17