上海教育版高中數(shù)學(xué)一下54兩角和與差的余弦、正弦和正切4篇(已修改)
2025-12-20 00:45 本頁面
【正文】 (1)兩角和與差的余弦公式 上海市楊浦高級中學(xué) 曹麗瓊 一、教學(xué)內(nèi)容分析 兩角和與差的余弦是三角恒等式的起始課，是本章中一系列的三角 恒等式的基礎(chǔ)，因此對兩角和 與差的余弦公式的掌握必須扎實 . 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點和難點 .這一推導(dǎo)過程難度較大也比較復(fù)雜，教師可以通過設(shè)置問題情景，提出如何用兩角的三角比表示兩角差的余弦三角比 .在猜測公式和實例檢驗的過程中激發(fā)學(xué)生探求公式的興趣 ,在具體的推導(dǎo)過程中，引導(dǎo)學(xué)生想到借助單位圓來研究任意角三角比的基本方法，運用數(shù)形結(jié)合完成推導(dǎo) .對學(xué)生在 推導(dǎo)過程中出現(xiàn)的問題，例如任意角的準(zhǔn)確表示等，教師需指出或以引導(dǎo)的方式加以更正 . 在得到公式之后，需要觀察和總結(jié)公式的特點和規(guī)律，便于記憶 .在練習(xí)時要注意公式的逆用和其它變式的求值及化簡問題，應(yīng)用所學(xué)的公式證明三角恒等式的練習(xí)在本節(jié)課中不宜太難 . 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 探求兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，經(jīng)歷公式推導(dǎo)的過程，并在此過程中，進一步形成嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)思維方法 .初步掌握公式，并會應(yīng)用它們解決一些簡單的有關(guān)三角的求值問題與證明問題； 三、教學(xué)重點及難點 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)； 掌握和應(yīng)用兩角和與差的 余弦公式 . 四、教學(xué)流程設(shè)計 五、教學(xué)過程設(shè)計 一、講授新課 實例引入 實例引入、設(shè)置問題 猜測公式、實例檢驗 轉(zhuǎn)換思路、以求代猜 數(shù)形結(jié)合、推證 公式 強 調(diào)特征、鞏固應(yīng)用 求值化簡、簡單證明 課堂小結(jié)、布置作業(yè) （ 1 ）2160cos ??、2245cos ?? ，而 ????? 456015 ，那么等式????? 45c o s60c o s15c o s 是否成立 （ 2）對于任意角 ? 、 ? ， ??? 的余弦如何用 ? 和 ? 的三角比來表示？ [說明 ]（ 1） 045co s60co s ???? ，而 015cos ?? ，所以等式不成立 （ 2）對學(xué)生所提出的猜想，用具體的數(shù)加以檢驗 .通過檢驗發(fā)現(xiàn) )cos( ??? 不能用簡單的 ?? coscos ? 或是 ?? coscos ? 等來表示 .從而明確 余弦運算不滿足分配律 . 公式推導(dǎo) 設(shè) ? 、 ? 是兩個任意角 .在直角坐標(biāo)系的單位圓中作出兩角 ? 、 ? ，射線 OA 、 OB分別為其終邊，與單位圓相交于 A 、 B 兩點，其坐標(biāo)分 別為 )sin,(cos ??A ，)sin,(cos ??B . 方法一、 將 角的 終邊 OA 、 OB 都繞 O 旋轉(zhuǎn) ?? 角 ，分 別 轉(zhuǎn)到 AO? 和 BO? 的 位置 ，則))s in (),( c o s ( ???? ???A ， )0,1(B? . 根據(jù)兩點間距離公式，有 )s i ns i nc o s( c o s22)s i n( s i n)c o s( c o s|| 22 ???????? ???????AB )c o s (22)(s i n]1)[ c o s (|| 222 ?????? ??????????BA 因為 AOB? 繞 O 旋轉(zhuǎn) ?? 角得到 BOA ??? ，所以 |||| BAAB ??? 從而 ?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? 也可以將角的終邊 OA 、 OB 都繞 O 旋轉(zhuǎn) ?? 角 ， 則 同 理 可 得O xyA)sin,(cos ??)sin,(cos ??B )0,1(B?))s in (),( c o s ( ???? ???AO xy ?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? ， 一 方 面 由 誘 導(dǎo) 公 式 可 知)c o s ()c o s ( ???? ??? ，所以得到 ?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? .另一方面，由于 ? 、 ? 表示任意角，所以用 ? 替換 ? ， ? 替換 ? 公式仍成立 .從而得到?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? .[ 這個公式叫做兩角差的余弦公式 , 它對任意角 ? 和 ? 都成立 . 在兩角差的余弦公式中，用 ?? 代替 ? . 可 得到兩角和的余弦公式：?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? . 強調(diào)特征 兩角和與差的余弦公式在結(jié)構(gòu)上的特征為 公式左邊是復(fù)角的余弦，右邊是單角的余弦之積以及正弦之積的和與差； 左右兩邊的加減號互異 例題解析 例 利用兩角和與差的余弦公式，求 ?15cos 、 ?75cos 的值 . 解： 4 2615cos ??? 、 4 2675cos ??? [ 說明 ] 可 以 選 擇 不 同 的 角 及 公 式 ， 例 如 ， )4560c o s (15c o s ????? 、)3045c o s (15c o s ????? ； )45120c o s (75c o s ????? 、 )3045c o s (75c o s ????? 例 化簡： )60s i n (s i n)60c o s (c o s ???? ?????
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