北師大版必修5高中數(shù)學(xué)第二章正余弦定理在解決三角形問題中的應(yīng)用word典例分析素材(已修改)
2024-12-19 03:12 本頁面
【正文】 正余弦定理在解決三角形問題中的應(yīng)用 典型例題分析： 一、判定三角形的形狀 例 1 根據(jù)下列條件判斷三角形 ABC的形狀： (1)若 a2tanB=b2tanA； 解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 BcosBsin= (2RsinB)2 ?AcosAsin 2sinAcosA=2sinBcosB? sin2A=sin2B? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0 所以△ ABC是等腰三角形或直角三角形 . (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC。 解 : 由正弦定理得 sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠ 0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ ABC是直角三角形 . (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解： (sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 ? [2sin 2BA? cos 2BA? + sin(A + B)] – [2cos 2BA? cos 2BA? + 2cos22C 1]=0 ? [2sin 2BA? cos 2BA? + sin(A + B)] – 2cos 2BA? cos 2BA? 2sin2 2BA? =0 ? (sin 2BA? cos 2BA? )(cos 2BA? sin 2BA? )=0 ? sin( 2BA? 4? )sin 4 BCA ?? sin 4 CBA ?? =0 ? △ ABC是 Rt△。 二、三角形中的求角或求邊長問題 例 △ ABC中，已知： AB=2， BC=1， CA= ，分別在邊 AB、 BC、 CA上取點 D、 E、 F，使△ DEF是等邊三角形（如圖 1）。設(shè)∠ FEC=α，問 sinα為何值時，△ DEF的邊長最短？并求出最短邊的長。 圖 1 分析：要求最短邊的長，需建立邊長關(guān)于角α的目標函數(shù)。 解：設(shè)△ DEF的邊長為 x，顯然∠ C=90176。，∠ B=60176。，故 EC=x cosα。因為∠ DEC=∠ DEF+α =∠ EDB+∠ B，所以∠ EDB=α。在△ BDE中，由正弦定理得 ， 所以 ，因為 BE+EC=BC，所以 ， 所以 當(dāng) 。 注：在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應(yīng)聯(lián)想到正弦定理。 例 2 在△ ABC中，已知 sinB=53 ,
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