【正文】 本資料來源 第 三 節(jié) 分 布 的 擬 合 檢 驗 第三節(jié) 分布擬合的 檢驗法 2? 我們在前面幾節(jié)中介紹的是在總分布形 式已知時關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗。但在實 際問題，有時不能預(yù)先知道總體分布的形式。 這時，就要用假設(shè)檢驗的方法，根據(jù)樣本的 觀察值判斷總體是否具有某中分布，這類對 總體分布形式的檢驗問題稱為分布擬合檢驗。 它是非參數(shù)檢驗中較為主要的內(nèi)容。本節(jié)知 介紹分布擬合的檢驗法。 167。 實際中可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并完全不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè) 。 例如，從 1500到 1931年的 432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機(jī)變量，椐統(tǒng)計，這 432年間共爆發(fā)了 299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下 : 戰(zhàn)爭次數(shù) X 0 1 2 3 4 發(fā)生 X次戰(zhàn)爭的年數(shù) 223 142 48 15 4 可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布 X近似泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)能否證實 X 具有泊松分布假設(shè)？ 又如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取 100個鐘作試驗，撥準(zhǔn)后隔 24小時以后進(jìn)行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。 問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？ 再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的。即在投擲中，出現(xiàn) 1點(diǎn)， 2點(diǎn)， ? ， 6點(diǎn)的概率都應(yīng)是1/6。為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點(diǎn)出現(xiàn)的頻率與 1/6的差距。那么得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？ 167。 2.1900K?之 一解 決 這 類 問 題 的 工 具 是 英 國 統(tǒng) 計 學(xué) 家 皮 爾 遜在 年 發(fā) 表 的 一 篇 文 擬 合章 中 提 出 的 檢 驗 法 。需要： 在總體 X 的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本， 檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗方法。 2χ 擬 合 檢 驗 法 最 初 是 用 于 分 類 數(shù) 據(jù) 的 有 關(guān) 檢 驗 問 題 的167。 若原假設(shè)成立，則各實測頻數(shù) fi與 npi (理論頻數(shù) )應(yīng)相差不大。 總體 X可以分為 k個組（類），記作 A1, A2, …, Ak 。 現(xiàn)要檢驗的是： 如對總體做作了 n次觀察，各類出現(xiàn)的頻數(shù)為 fi （實測頻數(shù)） ，所有頻數(shù)之和 f1+ f2+ …+ fk等于樣本容量 n, fi /n稱為頻率。 具 體 思 想 如 下 ：0 : ( ) , 1 , 2 , , ,iiH P A p i k??10 , i iip p p??? ?k其 中 各 已 知 ， 且167。 ???? ki iiinpnpf122 )(?ii npf ?標(biāo)志著經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異的大小 . 皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布 與理論分布之間的差異 : 統(tǒng)計量 的分布是什么 ? 2? 在理論分布 已知的條件下 , npi是常量 實測頻數(shù) 理論頻數(shù) 167。 皮爾遜證明了如下定理 : ???? ki iiinpnpf122 )(? 若原假設(shè)成立，那么當(dāng) 時，統(tǒng)計量 ??n漸近服從自由度為（ k1）的 分布 . 2? ? ?2 ( 1 ) .Ck??????2檢 驗 的 拒 絕 域 形 為 ： W=當(dāng) 顯 著 性 水 平 給 定 時 , 可 得 C=167。 如果根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, …, Xn算得 統(tǒng)計量 的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認(rèn)為差異不顯著而接受原假設(shè) . 2?167。 皮爾遜定理是在 n無限增大時推導(dǎo)出來的，因而在使用時要注意 n要足夠大 ，以及 npi 不太小 這兩個條件 . 根據(jù)計算實踐，要求 n不小于 50，以及 npi 都不小于 5. 否則應(yīng)適當(dāng)合并類，使 npi滿足這個要求 . 不服從某種分布服從某種分布，即iiiipHkipAPpH:,... ,2,1,)(:10 ??對規(guī)定的顯著性水平 ， 則拒絕 。否則不能拒絕 ，即接受 0H 0H0H?為已知的擬合檢驗（一） kip i ,... ,2,1,. ? )1~)( 212 ??? ??knp npfkki iii （則近似?)122 ?? kk （??167。 為已知各類的概率為各類樣本的頻數(shù)，且設(shè) ii pkif ,...,2,1, ?卡方統(tǒng)計量與 ?2分布 類別 … . 理論值 … . 觀察值 … . ka1np2np knp2f kf1900由皮爾遜（ ）提出 卡方 統(tǒng)計量 定理 如果原假設(shè) 0H成立，則在樣本容量 n→∞ 時 ， 的分布趨向 1k?的 2?分布，即 2 1k? ?。 于自由度為 2nK2nK，并進(jìn)行顯著性檢驗 222() ~ [ ( 1 ) ( 1 ) ]ij ijnvTK c r??? ? ??? 近 似 服 從ijT)1(22????kkcr?{} iiP X a p??1 , 2 , 3 , ,ik? ki AppH ii,... ,2,1 ,)(:0? ? ???????? ki iiikin npnpfk12122 )()(理論頻數(shù)理論頻數(shù)觀察頻數(shù)則 奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長達(dá)八年之久的豌豆雜交試驗 , 并根據(jù)試驗結(jié)果 ,運(yùn)用他的數(shù)理知識 , 發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律 . 例 1，我們以遺傳學(xué)上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、主動的作用 . 孟德爾 167。 子二代 子一代 … 黃色純系 … 綠色純系 他的一組觀察結(jié)果為： 黃 70，綠 27 近似為 :1，與理論值相近 . 根據(jù)他的理論，子二代中 , 黃、綠之比 近似為 3:1， 例 1 奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長達(dá)八年之久的豌豆雜交試驗, 并根據(jù)試驗結(jié)果 ,運(yùn)用他的數(shù)理知識 , 發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律。 167。 這里， n=70+27=97, k=2, 檢驗孟德爾的 3:1理論 : 提出假設(shè) H0: p1=3/4, p2=1/4 理論頻數(shù)為： np1=, np2= 實測頻數(shù)為 70， 27. ???? 2122 )(i iiinpnpf?統(tǒng)計量 )1(2? 近似服從 自由度為 k1=1 ? ?20. ( 1 ) 1 1??????2按 ， 查 表 得 ， 拒 絕 域 為 W=2?由于統(tǒng)計量 的實測值 2?=， 故認(rèn)為試驗結(jié)果符合 孟德爾的 3:1理論 . 167。 這些試驗及其它一些試驗，都顯 示孟德爾的 3: 1理論與實際是符合的 . 這本身就是 統(tǒng)計方法在科學(xué)中的一項 重要應(yīng)用 . 用于客觀地評價理論上的某個結(jié)論是否與觀察結(jié)果相符，以作為該理論是否站得住腳的印證 . 167。 例 2 為了檢測圓粒豌豆與皺粒豌豆第二代的分離比例是否符合孟德爾的 3： 1分離率，作試驗觀察是 336粒圓粒豌豆， 101粒皺粒豌豆下表： 類型 圓粒豌豆 皺粒豌豆 觀測值頻數(shù) 336 101 理論值頻數(shù) 437(3/4)= 437(1/4)= 13:.1 0 ：分離率為：H )( )(.22222 ?????K故接受原假設(shè)。）＝（查表 222 K???一致性檢驗 (1)、 一致性檢驗 分布擬合檢驗 1 kikpppHkippppH,:,... ,2,1,(:211210?? 已知）????不全相等 ⑵ ．對規(guī)定的顯著性水平 ，若 (r=2,c=k) ? ?22 ( 1 ) ( 1 )k r c??? ? ?則拒絕 。否則不能拒絕 ，即接受 0H 0H0H? )1(2 ?? k??把樣本統(tǒng)計量轉(zhuǎn)換 成卡方值，結(jié)合卡方分布所進(jìn)行的統(tǒng)計檢驗 原理是以細(xì)格次數(shù)來進(jìn)行交叉比較，俗稱交叉分析 ２．檢驗的步驟 ⑴．提出原假設(shè)和備擇假設(shè) １．檢驗多個變量之間是否存在顯著差異 卡方統(tǒng)計量與一致性檢驗 類別 … . 理論值 … . 觀察值 … . ka1np2np knp2f kf1900由皮爾遜（ ）提出 卡方 統(tǒng)計量 定理 如果原假設(shè) 0H成立，則在樣本容量 n→∞ 時 ， 的分布趨向 1k?的 2?分布，即 2 1k? ?。 于自由度為 2nK2nK，并進(jìn)行顯著性檢驗 222() ~ [ ( 1 ) ( 1 ) ]ij ijnvTK c r??? ? ??? 近 似 服 從ijT)1(22????kkcr?{} iiP X a p??1 , 2 , 3 , ,ik? ki pAppH ii,...,2,1 ,)(: 00? ?? ???????? ki iiikin npnpfk12122 )()(理論頻數(shù)理論頻數(shù)觀察頻數(shù)則例 3 為了檢測卡爾。馬克思的寫作中使用字母（ a、 e、 i、 o、s）是否等概率從他的作品隨機(jī)抽取 500個字母下表： 字母 a e i o s 觀測值頻數(shù) 90 115 105 84 105 理論值頻數(shù) 100 100 100 100 100 5,4,3,2,:.1 0 ?? iPH i2 2 2 2 22 ( 100 90) ( 100 115 ) ( 100 105 ) ( 100 84) ( 100 106 )2. 2100 100 100 100 100nK? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?220. 053. 4 ???查 表 （ ） ＝故 接 受 原 假 設(shè) 。一致性檢驗 Data a。 input A$ n 。 cards。 a 90 e 115 i 105 o 84 s 105 。 proc freq data=a。 tables A/chisq。 weight n。 run。 .5,4,3,2,1,:0 ?? iPH i一致性檢驗 The SAS System 14:43 Friday, November 12, 2023 1 The FREQ Procedure Cumulative Cumulative A Frequency Percent Freque