【正文】 第 3章 力系的合成和平衡 第 3章 力系的合成和平衡 平面一般力系的簡(jiǎn)化 平面力系的平衡問題 靜定與靜不定問題及物體系統(tǒng)的平衡 平面力系的重心和形心 思考與練 習(xí) 第 3章 力系的合成和平衡 平面一般力系的簡(jiǎn)化 力的平移定理 力對(duì)物體的作用效果取決于力的三要素：力的大小 、 方向和作用點(diǎn) 。 當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí) ， 力對(duì)剛體的作用效果不變 。 但是 ， 如果保持力的大小 、 方向不變 ， 將力的作用線平行移動(dòng)到另一位置 ， 則力對(duì)剛體的作用效果將發(fā)生改變 。 設(shè)在剛體上作用一力 F， 如圖 31所示 ， 由經(jīng)驗(yàn)可知 ， 當(dāng)力 F通過剛體的重心 C時(shí) ， 剛體只發(fā)生移動(dòng) 。 如果將力 F平行移動(dòng)到剛體上任一點(diǎn) D， 則剛體既發(fā)生移動(dòng) ， 又發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng) ， 即作用效果發(fā)生改變 。 那么 ， 在什么條件下 ， 力平行移動(dòng)后與未移動(dòng)前對(duì)剛體的作用效果等效呢 ？ 力的平移定理解決了這一問題 。 第 3章 力系的合成和平衡 圖 31 第 3章 力系的合成和平衡 力的平移定理 作用于剛體上某點(diǎn)的力 ， 可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn) ， 但同時(shí)必須附加一個(gè)力偶 ， 此附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩 ， 力偶的轉(zhuǎn)向決定于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向 。 證明 如圖 32(a)所示 ， 假設(shè)有一力 F作用在剛體上 A點(diǎn) ， 要把它平移到剛體上另一點(diǎn) B處 。 根據(jù)加減平衡力系原理 ， 在 B點(diǎn)加一對(duì)平衡力 F′和 F″， 并使它們與力 F平行 ， 而且 F′=F″=F，如圖 32(b)所示 ， 顯然 ， 它們對(duì)剛體的作用與原來的一個(gè)力 F對(duì)剛體的作用等效 。 在這三個(gè)力中 ， 力 F與 F″組成一對(duì)力偶 (F, F″)。于是 ， 原來作用在 A點(diǎn)的力 ， 現(xiàn)在被一個(gè)作用在 B點(diǎn)的力 F′和一個(gè)附加力偶 (F, F″)所取代 ， 如圖 32(c)所示 ， 此附加力偶的力偶矩大小為 FdMM B ?? )( F（ 31） 第 3章 力系的合成和平衡 圖 32 第 3章 力系的合成和平衡 根據(jù)力的平移定理 ， 可以將一個(gè)力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力 。 力的平移定理揭示了力與力偶在對(duì)物體作用效應(yīng)之間的區(qū)別和聯(lián)系 : 一個(gè)力不能與一個(gè)力偶等效 ， 但一個(gè)力可以和另一個(gè)與它平行的力及一個(gè)力偶的聯(lián)合作用等效 。 第 3章 力系的合成和平衡 圖 33 第 3章 力系的合成和平衡 圖 ＝( a )1F ?A1A2OF2F1 FnAnyO2F ?nF ?MnM1 M2x＝y(tǒng)OMORF ?? x( b ) ( c ) ( d ) ( e )RF ??O ?OdRF ?FRO ?OdFR 第 3章 力系的合成和平衡 1. 力系的主矢 平移力 組成的平面匯交力系的合力 , 稱為原平面任意力系的主矢 。 作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心 O點(diǎn) ， 大小等于各分力的矢量和 ， 即 ? ??????? iinR FFFFFF 39。39。39。239。139。 ?39。39。239。1 , nFFF ?39。RF（ ） 在平面直角坐標(biāo)系中，則有 ?????????yRyxRxFFFF39。39。（ ） 39。RF 第 3章 力系的合成和平衡 ????????????????xyyxRyRxRFFFFFFF?tan)()()()(22239。239。39。() 式中 ， Fx, Fy分別為主矢 FR′和各力在 x, y軸上的投影； FR′為主矢的大小； α為 FR′與 x軸所夾的銳角 ， FR′的指向由 ∑Fx和 ∑Fy的正負(fù)來確定 。 , 39。39。 RyRx FF 第 3章 力系的合成和平衡 2. 力系的主矩 附加的平面力偶系 M1=MO(F1） ， M2=MO(F2), … , Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小為 MO， 稱為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心 O點(diǎn)的主矩 ， MO等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心 O點(diǎn)之矩的代數(shù)和 ， 即 MO=M1+M2+…+ Mn=∑MO(Fi)=∑Mi （ ） 值得注意的是 ， 選取不同的簡(jiǎn)化中心 ， 主矢不會(huì)改變 ， 因?yàn)橹魇缚偸堑扔谠ο抵懈髁Φ氖噶亢?， 也就是說主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)； 而主矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和 ， 一般來說主矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān) ， 提到主矩時(shí)一定要指明是對(duì)哪一點(diǎn)的主矩 。 主矢與主矩的共同作用才與原力系等效 。 第 3章 力系的合成和平衡 簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 (1) FR′≠0, MO≠0。 根據(jù)力的平移定理的逆過程 ， 可將主矢FR′與主矩 MO簡(jiǎn)化為一個(gè)合力 FR， 合力 FR的大小 、 方向與主矢FR′相同 ， FR的作用線與主矢的作用線平行 ， 但相距 ， 如圖 （ e） 所示 。 此合力 FR與原力系等效 ， 即平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力 。 (2) FR′ ≠0, MO =0。 原力系與一個(gè)力等效 ， 即原力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力 。 合力等于主矢 ， 合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心 O。 39。||ROFMd ? 第 3章 力系的合成和平衡 (3) FR′=0,MO≠0。 原力系與一個(gè)力偶等效 ， 即原力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶 。 合力偶矩等于主矩 ， 此時(shí) ， 主矩與簡(jiǎn)化中心 O的位置無關(guān) 。 (4) FR′=0, MO =0。 原力系處于平衡狀態(tài) ， 即原力系為一平衡力系 。 第 3章 力系的合成和平衡 【 例 】 如圖 （ a） 所示 ， 正方形平面板的邊長(zhǎng)為 4a， 在板上 A、 O、 B、 C處分別作用有力 F1, F2, Ｆ 3, F4， 其中 F1=F, , F3=2F, F4=3F。 求作用在板上此力系的合力 。 FF 222 ? 第 3章 力系的合成和平衡 主矢的大小為 FFFFFF RyRxR 2)()( 22239。239。39。 ?????主矢的方向?yàn)? ????? ?? 45,1tan ?? FFFFxy由于 ∑Ｆ x和 ∑Fy都為正，主矢 FR′指向第一象限。 解 （ 1）選 O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，建立如圖 （ a）所示的直角坐標(biāo)系，求力系的主矢和主矩。 由式（ ）、 ()、 ()和式（ ）可得： FFFFFFFFFFFFFFFFFFFyyyyyRxxxxxxRx???????????????????????0023220432139。432139。 第 3章 力系的合成和平衡 主矩的大小為 MO=∑ MO(Fi)= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(F3)+ MO(F4) =F1a+0+F3 2aF4 a =Fa+4Fa3Fa =2Fa 主矩的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。 第 3章 力系的合成和平衡 圖 aF1yF2O xCF4BF3AayO＝RF ??MOxyOxF RdD＝( a ) ( b ) (c ) 第 3章 力系的合成和平衡 （ 2） 由于 FR′≠0， MO≠0， 根據(jù)力的平移定理的逆過程 ， 可將主矢 FR′與主矩 MO簡(jiǎn)化為一個(gè)合力 FR。 合力 FR的大小 、 方向與主矢 FR′相同 ， FR的作用線與主矢的作用線平行 ， 但相距 d ?22239。 ??? FFaFMdRO 力系合力的作用線通過 D點(diǎn)，如圖 （ c）所示。 第 3章 力系的合成和平衡 平面力系的平衡問題 平面一般力系的平衡條件和平衡方程 由上節(jié)的討論結(jié)果可知 ， 如果平面一般力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢和主矩同時(shí)為零