【正文】 第十五章 電路方程的矩陣形式 本章重點(diǎn)： 1. 電路的計(jì)算機(jī)輔助分析 2. 電路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)和基爾霍夫定律的矩陣表示 3. 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式 4. 狀態(tài)方程 i1 i2 i3 i1 i2 i3 i1 i2 i3 抽象 ?i = 0 抽象 支路 + 一 . 圖的基本概念 R2 C L uS R1 抽象 抽象 無(wú) 向 圖 有 向 圖 關(guān)于圖的有關(guān)概念的復(fù)習(xí) + 連通圖 圖 不連通圖 + 抽象 連通圖 抽象 不連通圖 1. 圖 G={支路，節(jié)點(diǎn) } ① ② １ 允許孤立節(jié)點(diǎn)存在 二 . 名詞和定義 路徑：從圖 G的一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá) 另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的支路構(gòu)成路經(jīng)。 3. 連通圖 圖 G的任意兩節(jié)點(diǎn)間至少有 一條路經(jīng)時(shí)稱 G為連通圖。 圖中的方向表示原電路中支路電壓和 電流 關(guān)聯(lián)參考方向 。 回路、樹 一 . 回路 (1)連通； (2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為 2。 1 2 3 4 5 6 7 8 2 5 3 1 2 7 5 8 4 回路 不是回路 回路 L是連通圖 G的一個(gè)子圖。 具有下述性質(zhì) 樹不唯一 樹支 ：組成樹的支路 連支 ：屬于 G而不屬于 T的支路 二 . 樹 (Tree) 樹 T是連通圖 G的一個(gè)子圖，具有下述性質(zhì)： (1)連通； (2)包含 G的所有節(jié)點(diǎn)和部分支路； (3)不包含回路。 16個(gè) 樹是連接全部結(jié)點(diǎn)所需最少支路的集合。 樹支數(shù) bt= n1 連支數(shù) bl=b(n1) 單連支回路（基本回路） 1 2 3 4 5 6 7 1 4 5 樹支數(shù) 4 連支數(shù) 3 單連支回路 獨(dú)立回路 167。151 割集 ?定義：連通圖 G的一個(gè)割集是 G 的一個(gè)支路集合，把這些支路 移去將使 G 分離成兩部分，但是若少移去一條支路圖 G 仍是連通的，常用 Q表示。 例： 2 4 5 6 1 3 4 5 6 2 1 3 2 4 5 6 1 3 G Q1(1,3,6) Q2(4,5,6) 支路集合 Q ： a) 這些支路移去將使 G 分離成兩部分 。 b) 但是若少移去一條支路圖 G仍是連通的。 1. 割集的概念 5 6 3 移去支路集合 (3,5,6) 2 4 1 G ，圖 G雖被分為兩個(gè)部分，但少移去支路 3圖 G仍被分為兩個(gè)部分。所以支路 (3,4,5,6)非割集。 ，圖 G未被分為兩個(gè)部分， 所以支路 (3,5,6)非割集。 移去支路集合 (3,4,5,6) 3 4 6 5 2 1 G 屬于同一割集的所有支路電流應(yīng)滿足 KCL，故可用割集寫出電路的 KCL方程。 ? 在 G上作閉合面確定割集 ? KCL適用于割集 2 4 5 6 1 3 G 一般方法： 作一閉合面，包圍 G的某些結(jié)點(diǎn)，若把與閉合面相切割的所有支路移去，G被分成兩個(gè)部分，則這一組支路集合構(gòu)成一個(gè)割集 。 割集 Q1(4,5,6) （這是第 ?點(diǎn)的自然結(jié)果） 割集 Q2(1,2,5,6) 3 4 5 這樣得到 n1個(gè)割集，每一割集對(duì)應(yīng)一條樹支，故稱單樹支割集。 2. 獨(dú)立割集組 獨(dú)立割集組 — 對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的 KCL方程的割集。 單樹支割集 (基本割集 )： a) 選一個(gè)樹 T。 b) 移去 T的一條樹支， T被分成兩個(gè)部分 T1和 T2。 c) 連接 T T2的所有連支加上移去的這條樹支便構(gòu)成了一割集。 2 6 1 例 1： 2 4 5 6 1 3 G 割集 Q1(1,3,6) 割集 Q2(1,2,4) 割集 Q3(1,2,5,6) Q1 Q2 Q3 選支路 (4,5,6)構(gòu)成樹 T 例 2： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 3 4 6 2 5 7 9 Q1 Q4 Q2 Q3 單樹支割集是獨(dú)立割集 —— 對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的 KCL方程。 Q1 (1,2,3,4) Q2 (3,5,6,8) Q3 (4,6,7,8) Q4 (4,6,9) 選支路 (2,5,7,9)構(gòu)成樹 T 圖的矩陣表示是指 用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即 KCL和 KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式： 圖的矩陣表示 結(jié)點(diǎn) 支路 關(guān)聯(lián)矩陣 回路 支路 回路矩陣 割集 支路 割集矩陣 152 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 一 .關(guān)聯(lián)矩陣 [A]：描述支路與結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系 關(guān)聯(lián)： 支路 k 與節(jié)點(diǎn) j 相連，則稱支路 k與節(jié)點(diǎn) j關(guān)聯(lián)，否則為非關(guān)聯(lián)。 [Aa]的任一元素 ajk定義如下： ajk＝ 1 支路 k與節(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向離開節(jié)點(diǎn)。 ajk＝ 1 支路 k與節(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向指向節(jié)點(diǎn)。 ajk＝ 0 支路 k與節(jié)點(diǎn) j 非 關(guān)聯(lián)。 [Aa]= n ?b 支路 b 結(jié) 點(diǎn) n 每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。 注意 ? ????????????????????110010011001101100000111aA1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 1 5 4 3 2 6 例： 特點(diǎn) ① 每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是 +1，一個(gè)是 1， Aa的每一列元素之和為零。 ② 矩陣中任一行可以從其他 n1行中導(dǎo)出，即只有 n1行是獨(dú)立的。 故可用 (n1)b階矩陣 [A]表示，稱為 降階關(guān)聯(lián)矩陣 ， 簡(jiǎn)稱 關(guān)聯(lián)矩陣 。 [Aa]= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支 結(jié) 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 [Aa]= (n1) ?b 支路 b 結(jié) 點(diǎn) n1 A的某些列只具有一個(gè) +1或一個(gè) － 1，這樣的列對(duì)應(yīng)與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。 特點(diǎn) 關(guān)聯(lián)矩陣 A的作用 ① 用關(guān)聯(lián)矩陣 A表示矩陣形式的 KCL方程； 設(shè) b條支路電流列向量為： ? ? ? ? Tbiiii , 21 ??則： ? ?? ????????????????????????????????000421??iiiiA上的節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)即矩陣形式的 KCL： [A][i]=0 (1) ? ?? ?????????????????????????????????????????????????????????000000011001101100000111654321iiiiiiiA4 3 2 1 1 5 4 3 2 6 ② 用矩陣 [A]T表示矩陣形式的 KVL方程。 設(shè) b條支路電壓列向量為： ? ? ? ? Tbuuuu , 21 ??(n1)個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓列向量： ? ? ? Tnnnnn uuu )1(21 , ?? ?即有： ? ? ? ? ? ?nT uAu ?(2) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????233221131321654321010100110011001101nnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuu支路電壓用節(jié)點(diǎn)電壓表示出來(lái)，自動(dòng)滿足 KVL，故 (2)式是用 [A]表出的 KVL矩陣方程。 4 3 2 1 1 5 4 3 2 6 解： 4 3 2 1 1 5 4 3 2 6 ? ????????????????????110010011001101100000111aA1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 例： 已知關(guān)聯(lián)矩陣 [A]，求有向拓?fù)鋱D。 ? ????????????????011001101100000111A可見 [A]與圖建立了一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系， [A]可表征電路的拓?fù)湫再|(zhì)。 逆問(wèn)題：給出 [A]，畫出圖 G 二 . 回路矩陣 [B]: 描述支路與回路之間的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。 設(shè)有向圖的獨(dú)立回路數(shù)為 l，支路數(shù)為 b，且所有的回路與支路均加以編號(hào)，則回路矩陣 [B]是一個(gè) l b階矩陣 . [B]的任一元素 bjk定義如下： bjk＝ 1 支路 k與回路 j 關(guān)聯(lián) (在回路上 )，且方向一致。 bjk＝ 1 支路 k與回路 j 關(guān)聯(lián) (在回路上 ) ，方向相反。 bjk＝ 0 支路 k與回路 j 非 關(guān)聯(lián)（即不在回路上）。 [B]= l ?b 支路 b 獨(dú)立回路 l 注意 每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。 ? ???????????????010011111000100110B1 2