高二數(shù)學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程(已修改)
2024-11-28 16:44 本頁面
【正文】 第 2 講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 感悟高考 明確考向 ( 2020 廣東 ) 在極坐標(biāo)系 ( ρ ， θ )(0 ≤ θ 2 π ) 中，曲線 ρ ( c os θ ＋ sin θ ) ＝ 1 與 ρ ( sin θ － c os θ ) ＝ 1 的交點的極坐標(biāo)為 _____ ． 解析 曲線 ρ ( co s θ ＋ si n θ ) ＝ 1 化為直角坐標(biāo)方程為 x＋ y ＝ 1 ， ρ ( si n θ － co s θ ) ＝ 1 化為直角坐標(biāo)方程為 y － x＝ 1. 聯(lián)立方程組????? x ＋ y ＝ 1 ，y － x ＝ 1 ，得????? x ＝ 0 ，y ＝ 1 ，則交點為( 0 , 1 ) ，對應(yīng)的極坐標(biāo)為????????1 ，π2. ????????1， π2 考題分析 本小題考查了極坐標(biāo)的概念，曲線的極坐標(biāo)方程以及利用曲線的極坐標(biāo)方程求曲線的交點問題．考查了極坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識以及運用極坐標(biāo)解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1 ) 易忽略 ρ ≠ 0 的條件和 0 ≤ θ 2 π . ( 2 ) 忽視極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化． 主干知識梳理 1 ．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點， x 軸 正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取 相同的長度單位．設(shè) M 是平面內(nèi)的任 意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為 ( x ， y ) 和 ( ρ ， θ ) ，則 ????? x ＝ ρ c o s θy ＝ ρ si n θ， ????? ρ2＝ x2＋ y2t a n θ ＝y(tǒng)x( x ≠ 0 ). 2 ．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點 M ( ρ0， θ0) ，且極軸到此直線的角為 α ，則它的方程為： ρ s i n ( θ － α ) ＝ ρ0si n ( θ0－ α ) ． 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 ( 1 ) 直線過極點： θ ＝ α ； ( 2 ) 直線過點 M ( a, 0) 且垂直于極軸： ρ c o s θ ＝ a ； ( 3 ) 直線過 M ( b ，π2) 且平行于極軸： ρ s i n θ ＝ b . 3 ．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為 M ( ρ0， θ0) ，半徑為 r 的圓方程為： ρ2－ 2 ρ0ρ c o s( θ － θ0) ＋ ρ20－ r2＝ 0 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 ( 1 ) 當(dāng)圓心位于極點，半徑為 r ： ρ ＝ r ； ( 2 ) 當(dāng)圓心位于 M ( r, 0) ，半徑為 r ： ρ ＝ 2 r c o s θ ； ( 3 ) 當(dāng)圓心位于 M ( r ，π2) ，半徑為 r ： ρ ＝ 2 r s i n θ . 4 ．直線的參數(shù)方程 過定點 M ( x0， y0) ，傾斜角為 α 的直線 l 的參數(shù)方程 為????? x ＝ x0＋ t c o s α ，y ＝ y0＋ t si n α( t 為參數(shù) ) ． 5 ．圓的參數(shù)方程 圓心在點 M ( x0， y0) ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為 ????? x ＝ x0＋ r c o s θ ，y ＝ y0＋ r s i n θ .( θ 為參數(shù)， 0 ≤ θ ≤ 2 π) 6 ．圓錐曲線的參數(shù)方程 ( 1 ) 橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 的參數(shù)方程為????? x ＝ a c o s θy ＝ b s i n θ( θ 為參 數(shù) ) ． ( 2 ) 雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的參數(shù)方程為????? x ＝ a se c θy ＝ b t a n θ( θ 為 參數(shù) ) ． ( 3 ) 拋物線 y2＝ 2 px ( p 0 ) 的參數(shù)方程為????? x ＝ 2 pt2y ＝ 2 pt. 熱點分類突破 題型一 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo) ( 方程 ) 的互化 例 1 ( 1 ) 若點 P 的直角坐標(biāo)為 (1 ，－ 3 ) ，則點 P 的極坐標(biāo)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 0 ≤ θ 2
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