第一講--數(shù)系的擴充(已修改)
2025-08-27 23:44 本頁面
【正文】 初等代數(shù)研究 第一講 數(shù)系的擴展 內(nèi)容結(jié)構(gòu)： 一、數(shù)系擴展的順序、方法、原則 二、自然數(shù)理論與數(shù)學歸納法 三、“ 平靜 ”地接受一些無理數(shù) 四、 復數(shù)的研究和應用 一、數(shù)系的擴展順序、方法、原則 （一） 數(shù)系的擴展順序、方法、原則 從代數(shù)學發(fā)展的歷史來看，人們對數(shù)的認識大體按照以下的邏輯順序進行的： 自然數(shù) 正有理數(shù) 非負有理數(shù) 有理數(shù) 實數(shù) 復數(shù) 添正分數(shù) 添零 添負有理數(shù) 添無理數(shù) 添虛數(shù) （ 1）自然數(shù)的產(chǎn)生起源于人類在生產(chǎn)和生活中記數(shù)的需要（三個階段： 結(jié)繩記數(shù) ； 出現(xiàn)”三頭牛，五只羊”； 把數(shù)從具體事物的集合分離出來，形成抽象的正整數(shù)概念，并有了代表它的符號） 結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國，是利用一種十進的位置值系統(tǒng)在繩上打結(jié)的記事方式。 在干繩最遠的一行一個結(jié)代表 1，次遠的一個結(jié)代表 10，如此等等 . 秘魯?shù)挠〉诎踩说慕Y(jié)繩法 中國的甲骨文計數(shù)法 《 易 .系辭 》 載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書目契。” 我國古代的甲骨文中的“數(shù)”字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù) （ 2）由于生產(chǎn)力的發(fā)展，在土地丈量、天文觀測、水利工程等方面的需要，正分數(shù)運應而生。據(jù)史書記載，三千多年前埃及紙草卷中已有關(guān)于正分數(shù)問題的記述。引進正分數(shù)是數(shù)的概念的第一次擴充。 （ 3）人們開始記數(shù)時，最初沒有“零”的概念，在生產(chǎn)實踐需要記數(shù)的東西越來越多，逐漸產(chǎn)生了位值記數(shù)法，如我國古代籌算上利用空格表示“零”。 引入“ 0”是數(shù)的概念的第二次擴展 。 （ 4） 引入負數(shù)，是數(shù)的概念的第三次擴展 。 （ 5）引入無理數(shù)，是數(shù)的概念的第四次擴展。 （ 6）引入虛數(shù)，是數(shù)的概念的第五次擴展。 （二）數(shù)系的擴展方法和原則 ? 近代數(shù)學關(guān)于數(shù)的認識，是在總結(jié)數(shù)的歷史發(fā)展的基礎(chǔ)上 ，用代數(shù)結(jié)構(gòu) （結(jié)構(gòu)主義觀點）和 公理系統(tǒng) 加以整理而建立起來的。 ? 數(shù)的擴展通常采用兩種方法： （ 1） 添加新元素法 ，即把新元素添加到已建立的數(shù)集中。 （ 2） 構(gòu)造法 ，即從理論上構(gòu)造一個集合，然后指出這個集合的某個真子集與先前的同構(gòu)。 二、自然數(shù)理論與數(shù)學歸納法 自然數(shù)的基數(shù)理論 19世紀
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