【正文】 《 控制工程基礎 》 第 5章 控制系統(tǒng)的時間響應 本章主要內(nèi)容： （ 1）研究控制系統(tǒng)在輸入信號的作用下，輸出信號隨時間變化的規(guī)律，即研究系統(tǒng)的時間響應。 （ 2）希望系統(tǒng)的時間響應滿足穩(wěn)、準、快的要求。 時間響應的基本概念 時域分析是指在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在一定輸入信號的作用下 ， 其輸出信號隨時間的變化情況 。 控制系統(tǒng)的輸出響應是由 瞬態(tài)響應 和 穩(wěn)態(tài)響應 兩部分組成 。 瞬態(tài)響應： 系統(tǒng)在某一典型信號輸入作用下 ， 其系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的變化過程 。 瞬態(tài)響應也稱動態(tài)響應 ， 或過渡過程 ， 或暫態(tài)響應 。 穩(wěn)態(tài)響應： 系統(tǒng)在某一典型信號輸入的作用下 ， 當時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài) ， 穩(wěn)態(tài)響應有時也稱為靜態(tài)響應 。 分析瞬態(tài)響應，選擇典型輸入信號，有如下優(yōu)點： （ 1）數(shù)學處理簡單，在給定典型信號作用下，易確定系統(tǒng)的性能指標，便于系統(tǒng)分析和設計。 （ 2）在典型信號作用下的瞬態(tài)響應，往往可以作為分析系統(tǒng)在復雜信號作用下的基礎和依據(jù)。 （ 3）便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的參數(shù)和傳遞函數(shù)。 常用的典型輸入信號有階躍信號 、 斜坡信號 、加速度信號 、 脈沖信號及正弦信號 。 典型輸入信號的選擇： （ 1）階躍函數(shù) (Step function) 00()0()trtataRss??? ????at)(tr0 這意味著 t=0時突然加到系統(tǒng)上的一個幅值不變的外作用 。 幅值 a=1的階躍函數(shù) ， 稱為 單位階躍函數(shù) ， 用1(t)來表示 。 一般將階躍函數(shù)作用下的系統(tǒng)的響應特性作為評價系統(tǒng)動態(tài)性能指標的依據(jù) 。 （ 2）斜坡函數(shù) (Ramp function) 200()0()trta t taRss??? ???? 表示在 t=0時刻開始 ， 以恒定速度 a隨時間變化的函數(shù) ， 也稱為 速度函數(shù) 。 當 a=1的斜坡函數(shù) ， 稱為 單位斜坡函數(shù) 。 t)(tr0a1（ 3）加速度函數(shù) (Parabolic function) 2300() 02()trta t taRss??? ???? 表示在 t=0時刻開始 ， 以恒定加速度隨時間變化的函數(shù) ， 也稱為 拋物線函數(shù) 。 當 a=1/2的加速度函數(shù) ， 稱為 單位加速度函數(shù)。 t)(tr0（ 4）脈沖 函數(shù) (Impulse function) 00 0 0()l im 0()ttrt atR s a????????? ??????或 當 a=1時的脈沖函數(shù) ， 稱為 單位脈沖函數(shù) ,記為δ(t)。 當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，其輸出響應稱為脈沖響應函數(shù)。由于 δ(t)函數(shù)的拉氏變換等于 1，因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為脈沖響應函數(shù)的象函數(shù)。 a?t)(tr0 ?? ? ? ? ? ? ? ?211 1 12t t t t t t? ????? ??? ???? ?? ? ?? ? ??積 分 積 分 積 分求 導 求 導 求 導上述各函數(shù)之間的關系： （ 5）正弦 函數(shù) (Sinusoidal function) 220 0()sin 0()trta t taRss?????? ????? 正弦函數(shù) (或余弦函數(shù) )是控制系統(tǒng)常用的一種典型的輸入信號，系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的響應，即頻率響應。 ()rt0?? 2??ta 究竟采用哪種典型信號來分析和研究系統(tǒng) ，需要參照系統(tǒng)正常工作時的實際情況 。 ?系統(tǒng)的輸入量是突變的 ， 采用階躍信號 。 如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng) 。 ?系統(tǒng)的輸入量是隨時間等速變化 ， 采用斜坡信號作為實驗信號 。 ?系統(tǒng)的輸入量是隨時間等加速變化 ， 采用拋物線信號 。 ?系統(tǒng)為沖擊輸入量 ， 則采用脈沖信號 。 ?系統(tǒng)的輸入隨時間往復變化時 ， 采用正弦信號 。 《 控制工程基礎 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時間響應 一階系統(tǒng)的時間響應 能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng) ，它的典型形式為 一階慣性環(huán)節(jié) 。 其中 T為時間常數(shù) 。 0 () 1()( ) 1iXsGsX s T s?? ?閉環(huán)極點 (特征根 )： 1/T 一階系統(tǒng) 的數(shù)學模型 1( ) 1 ( ) ( )iix t t X s s??11Ts?()ixt ()oxt單位階躍輸入為 輸出為 011( ) ( ) ( )11 1 1 11iX s G s X sT s sTs T s ssT? ? ??? ? ? ???單位階躍響應為 )0(1)( 10 ???? tetx tT 一階系統(tǒng)的單位階躍響應 根據(jù)上式，當 t取 T的不同倍數(shù)時，可得出下表 。 t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0 … 1 表 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應 ??txo)0(1)(10 ???? tetx tT1/T xo(t)=1et/T x0(t) 0 1 t T 2T 3T 4T 63.2% 86.5% 95.0% 98.2% （ 1） 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 ， 無振蕩 。 （ 2） 經(jīng)過時間 T， 曲線上升到 。 反過來 ，如果用實驗的方法測出響應曲線達到 ，即是慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 。 （ 3） 經(jīng)過時間 3T～ 4T， 響應曲線達穩(wěn)定值的 95％ ～98％ ， 可以認為其調(diào)整過程已經(jīng)完成 ， 故一般取調(diào)整時間 (3～ 4)T。 （ 4）在 t＝ 0處，響應曲線的切線斜率為 1/T。 特點 （ 5） ln[1xo(t)] 與時間 t 成線性關系 ?判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié) ?測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 111l n[ 1 ())(1(])1otTotTox t ee x tt x tT??? ? ?????t? ?? ?tx o?1lgo? ?? ?txteT o???????? ? 1lglg1其中 eT lg1? 為常數(shù)。 一階慣性環(huán)節(jié)識別曲線 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 ( ) ( ) ( ) 1iix t t X s???單位脈沖輸入為 單位脈沖響應為 101( ) ( 0)tTx t e tT???輸出為 0 ( ) ( ) ( )11 11iX s G s X sTTssT?????TT21T?斜 率/1() tTox t eT?? 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應 21( ) 1 ( ) ( )iix t t t X s s? ? ?單位斜坡輸入為 單位斜坡響應為 輸出為 0 2211( ) ( ) ( )11 1iX s G s X sT s sTTsssT???? ? ??)0()(10 ????? tTeTttx tT11( ) ( ) ( ) [ ] ( 1 ) ( ) ttTTioe t x t x t t t T T e T et e T??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 一階系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 T 。 一階系統(tǒng)的 單位加速度響應 單位加速度輸入 為 單位加速度響應 為 輸出為 ? ? 221 ttx i ? ? ?31ssX i ?? ? ? ? ? ?TsTsTsTssTssXsGsX io11111 22233?????????? ? ? ?? ? ? ?0e21 12221 ?????? ?? tTTTttsXLtx tToo誤差計算： 這就是說 ， 一階慣性環(huán)節(jié)在單位加速度信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大 ， 表示一階慣性環(huán)節(jié)不能實現(xiàn)對單位加速度信號的跟蹤 。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 502468101214時間 t時間響應 xo(t)?一階慣性環(huán)節(jié)的單位加速度響應?單位加速度輸入信號T T T T T T T T T T? T2? ? ? ? ? ? ???????? ??????????? ??????? ?? tTtToi TTtTTTttttxtxte1212222 e1e2121? ? ???? tetlim輸 入 輸 出 1111( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 11( ) ( ) ( )tTittTitTix t t x t t T T ex t t x t ex t t x t eT?????? ? ? ?? ? ???三種響應關系 三種輸入關系 11()1 ( ) [ ] ( )()( ) [ 1 ( ) ] ( )tdx tdt t x tdt dtdx tdt t x tdt dt??????一階系統(tǒng)三種典型輸入信號及響應關系： 積分時間常數(shù)由零初始條件確定。 線性 定常系統(tǒng)時間響應的性質(zhì) 線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì) ?系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應 ， 等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù) 。 ?系統(tǒng)對于輸入信號積分的響應 ， 等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分 ， 積分時間常數(shù)則由零輸出的初始條件確定 。 注意： 該性質(zhì)只適用于線性定常系統(tǒng) ， 不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 。 圖 溫度測量裝置的結構圖 例 已知溫度測量裝置的結構圖如圖 ， 其中 T為 時間常數(shù)?，F(xiàn)在采用該裝置測量某容器中水的溫度，發(fā)現(xiàn)需要一分鐘的時間才能指示出實際水溫 98%的數(shù)值，試計算該溫度測量裝置的時間常數(shù) 。如果給容器加熱，使水溫以 10℃ /分鐘的速度變化，試計算該溫度測量裝置的穩(wěn)態(tài)指示誤差。 ? ?sX o? ?sX i? ?sB Ts1解： 《 控制工程基礎 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時間響應 二階系統(tǒng)的 時間響應 凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為 二階系統(tǒng) 。 二階系統(tǒng)包含兩個貯能元件 ， 能量在兩個元件之間相互轉(zhuǎn)換 ， 引起系統(tǒng)具有往復振蕩的趨勢 。 例如 ，由彈簧 質(zhì)量 阻尼所組成的機械系統(tǒng)和 RLC電路網(wǎng)絡就是典型的二階系統(tǒng) 。 22222()()() 21 =21oinnnXssXsssT s T s?? ? ?????????? — 阻尼比 — 無阻尼自然頻率或固有頻率 n? 二階系統(tǒng) 的數(shù)學模型 系統(tǒng)的特征方程： 02 22 ??? ??? ss n特征方程的根（閉環(huán)極點） 21 , 2 1nnp ? ? ? ?? ? ? ? 顯然 ， 特征根的性質(zhì)取決于阻尼比 ?的大小 ，而特征根在復平面的分布決定系統(tǒng)的性能 。 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?特征根位于 s平面的左半部。 （ 1） 0 ξ 1（欠阻尼）一對實部為負的共軛復根 21 ?? ?nn??1p2p1, 2 np ???特征根相等 ， 且位于 s平面的負實軸上 。 （ 2） ξ = 1（臨界阻尼）兩相等的負實根 n?1p2p1 , 22 1nnp ? ? ? ??? ??特征根不相等 ， 且位于 s平面的負實軸上 。 （ 3） ξ 1（過阻尼）兩不相等的負實根 1p2p2 1nn?? ? ?? ??1 , 2 npj ???特征根共軛純虛根 ， 位于s平面的虛軸上 。 （ 4） ξ = 0（