擬合優(yōu)度檢驗(yàn)(已修改)
2025-08-19 10:47 本頁面
【正文】 第七章 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的應(yīng)用 ? 總體分布未知，從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（ 總體分布 ），再利用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對(duì) 假設(shè)的總體分布 進(jìn)行驗(yàn)證。 【 引例 1】 某地區(qū) 在 1500到 1931年的 432年間，共爆發(fā)了 299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量X）： 戰(zhàn)爭次數(shù) X 0 1 2 3 4 223 142 48 15 4 發(fā)生 X 次戰(zhàn)爭的年數(shù) 根據(jù)我們對(duì)泊松分布產(chǎn)生的一般條件的理解，可以用一個(gè)泊松隨機(jī)變量來近似描述 每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)。 也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布 X 近似泊松分布。 現(xiàn)在的問題是： 上面的數(shù)據(jù)能否證實(shí) X 具有泊松分布的假設(shè)是正確的？ 【 引例 2】 某鐘表廠對(duì)生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取 100個(gè)鐘作試驗(yàn)，校準(zhǔn) 24小時(shí)后進(jìn)行檢查，將每個(gè)鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。 問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？ 【 引例 3】 某工廠制造了一批骰子，聲稱它是均勻的。 為檢驗(yàn)骰子是否均勻，要把骰子實(shí)地投擲若干次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的頻率與 1/6的差距。 問題是： 得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？ 解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家 1900年發(fā)表的一篇文章中介紹了 χ2 檢驗(yàn)法。 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的工具 χ2 檢驗(yàn) ? χ2 檢驗(yàn)法 是在總體 X 的分布未知時(shí)，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。 H0：總體 X 的分布函數(shù)為 F(x) 然后根據(jù)樣本的 經(jīng)驗(yàn)分布 和所假設(shè)的理論分布 之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè)。 這種檢驗(yàn)通常稱作 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ，它是一種 非參數(shù) 檢驗(yàn)。 使用 χ2 檢驗(yàn)法 對(duì)總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)， 先提出原假設(shè) : 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的一般步驟 1. 將總體 X 的取值范圍分成 k 個(gè)互不重疊的小區(qū)間，記作 A1, A2, …, Ak。 2. 把落入第 i 個(gè)小區(qū)間 Ai 的樣本值的個(gè)數(shù)記作 fi ，稱為 實(shí)測頻數(shù) ； 所有實(shí)測頻數(shù)之和（ f1+ f2+ …+ fk）等于樣本容量 n。 3. 根據(jù)所假設(shè)的理論分布，可以算出總體X 的值落入每個(gè) Ai 的概率 pi， npi就是落入?yún)^(qū)間 Ai 的樣本值的 理論頻數(shù) 。 皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計(jì)量表示 經(jīng)驗(yàn)分布 與 理論分布之間的差異 : 在理論分布 已知的條件下 , npi是常量 實(shí)測頻數(shù) 理論頻數(shù) iif n p?221()k iii if npnp???? ?4. 觀測頻數(shù) 與 理論頻數(shù) 比較，判斷二者不符合程度是否由于機(jī)會(huì)所造成。 統(tǒng)計(jì)量 的分布是什么 ? 2?皮爾遜為什么會(huì)選用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ? 兩個(gè)問題： 關(guān)于第一個(gè)問題，皮爾遜證明了如下 定理 : 若原假設(shè)中的理論分布 F(x) 已經(jīng)完全給定，那么當(dāng) n → ∞ 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量： 221()k iii if npnp???? ?的分布 漸近 (k1) 個(gè)自由度的 分布。 2? 如果理論分布 F(x) 中有 r 個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，那么當(dāng) n → ∞ 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 的分布漸近 (k1r)個(gè)自由度的 分布。 2? 2?皮爾遜定理的幾點(diǎn)說明 ? 統(tǒng)計(jì)量的選擇 ? 自由度的確定 ? 連續(xù)性矯正 統(tǒng)計(jì)量的選擇 ? 求 k 個(gè) Oi－ Ti 之和， 顯然它們恒等于 0 ? 求 k 個(gè) (Oi－ Ti)2 之和， 得不出相對(duì)的不符合程度 ? Oi＝ Ti＝ 6， Oi－ Ti＝ 3； Oi＝ 4 Ti＝ 46， Oi－ Ti＝ 3。前者的不符合程度遠(yuǎn)大于后者。 ? 求 k 個(gè) [(Oi－ Ti)/Ti]2 之和， 但仍有問題 ? 如： Oi＝ Ti＝ 5以及 Oi＝ 80、 Ti＝ 50時(shí) (Oi－ Ti)/Ti 都等于 。 統(tǒng)計(jì)量的選擇 ? 為了解決上述問題，以 Ti 為權(quán)求加權(quán)值 ? ? ? ?221 1 1k k ki i iiiii i ii i iO T f n pOTTT T n p? ? ????????????? ? ?21kiiii iOTTT????????? ? ?21kiii iOTT??? ?自由度的確定 變量之間存在著一個(gè)制約關(guān)系： 1( ) 0kiiif n p????故統(tǒng)計(jì)量 漸近 (k1) 個(gè)自由度的 分布。 2?2?221()k iii if npnp???? ? 在 F(x) 尚未完全給定 的情況下，每個(gè)未知參數(shù)用相應(yīng)的估計(jì)量代替，就相當(dāng)于增加一個(gè)制約條件，因此，自由度也隨之減少一個(gè)。 若有 r 個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，自由度就減少 r 個(gè)。 故統(tǒng)計(jì)量 漸近 (k1r) 個(gè)自由度的 分布。 2? 2? 如果根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, …, Xn算得統(tǒng)計(jì)量
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1