【正文】 初一數(shù)學第二學期期末總復(fù)習第六章 一元一次方程《一元一次方程》知識梳理一、 知識要點（一）方程1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。2．方程的解：使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解。3．解方程：求方程的解的過程。（二）方程的變形方程的變形1：方程兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變。方程的變形2：方程兩邊都乘以或都除以同一個不為0的數(shù)，方程的解不變。（三）一元一次方程1．定義：只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。一般形式：ax＋b=0（a≠0），最簡形式：ax=b（a≠0）。2．移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項。3．去分母：方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，使方程中的系數(shù)不出現(xiàn)分數(shù)。這樣的變形叫做去分母。（四）解一元一次方程的一般步驟1．變形：利用分數(shù)的基本性質(zhì)或比例的基本性質(zhì)化分母為1或整數(shù)。2．去分母：（1）方程的各項都乘以公分母；（2）分子是多項式時應(yīng)加括號。3．去括號：（1）去括號法則；（2）乘法分配律。4．移項：（1）所要移的項應(yīng)變號；（2）從方程的一邊移到另一邊。5．合并同類項：（1）系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變；（2）化成最簡方程ax=b的形式。6．系數(shù)化為1：（1）方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)；（2）字母系數(shù)應(yīng)加以討論。7．檢驗：把未知數(shù)的值代入原方程，若方程左邊=右邊，則該值是原方程的解；若方程左邊右邊，則原方程無解或該值是錯解。解方程時，上述步驟有些可能用不到，并且也不一定按照這樣的順序，要根據(jù)方程的特點靈活安排求解步驟。熟練后，有些步驟及檢驗可以合并簡化。二、 典型例題例1 填空題：1．方程3x－1=4x＋2的最簡形式是_____________或_____________。2．（4y－3）=2的一般形式是___________________。3．方程－2k（x－2）－1=0的根為x=1，則k=____________。4．已知方程2x3－2m＋1=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m=_______，x=________。5．已知代數(shù)式8x－7與6－2x的值互為相反數(shù)，則x的值是________。6．如果－3x5y2m＋－1y3的和是單項式，那么m=______，n=_______，單項式的和等于______________。說明：掌握好一元一次方程的定義、一般形式、最簡形式和方程解的定義是解本組題的關(guān)鍵。例2 選擇題：1．下列各式為方程的是（ ）A．2＋3=5 B．2x－3 C．4x≠3y D．x=02．下列說法正確的是（ ）A．代數(shù)式是整式 B．等式是代數(shù)式 C．方程是等式 D．等式是方程3．下列方程屬于一元一次方程的是（ ）A．x＋y=1 B．－3x=0 C．＋4=0 D．（x－1）（x＋2）=04．下列方程中根為2的是（ ）A．x＋4=3x－2 B．2（x－2）=4 C． D．5．方程∣x∣=x的解是（ ）A．x=0 B．x為任何數(shù) C．x為非負數(shù) D．x為正數(shù)6．若方程（2a＋1）x2＋5xb－3－7=0是一元一次方程，則方程ax＋b=1的解是（ ）A．x=－6 B．x=6 C．x=－8 D．x=8說明：方程思想是解決數(shù)學問題的重要思想。許多問題常需要通過方程來幫助解決。用“回到定義上去”的方法來說明代數(shù)式、等式和方程這些概念的重要，在學習過程中不可忽視。中考常將一元一次方程的解法與其它問題綜合在一起進行考查。例3 解方程：解：去分母得12y－4（2y－1）=12＋3（3y－1）去括號得12y－8y＋4=12＋9y－3移項得12y－8y－9y=12－3－4合并同類項得－5y=5兩邊同除以－5得y=－1說明：（1）若方程中含有分母，一般應(yīng)先去分母，用公分母去乘方程兩邊的每一項，特別要防止漏乘不含分母的項。分子是多項式時應(yīng)注意添加括號。（2）去括號時，應(yīng)根據(jù)去括號法則和乘法分配律，特別要注意括號前面有數(shù)字或負號的情況。（3）所移的項要變號，一般是把含未知數(shù)的項移到等號的左邊，常數(shù)項移到右邊。（4）化系數(shù)為1時，若系數(shù)為整數(shù)宜用除法，若系數(shù)為分數(shù)宜乘以系數(shù)的倒數(shù)。例4 解方程解：去括號得移項得合并同類項得化系數(shù)為1得x=說明：（1）括號里含有分母時，一般應(yīng)先去括號，然后再去分母化簡。（2）可根據(jù)方程的特點，靈活安排解方程的步驟。本題先去中括號較簡便。（3）未知數(shù)的系數(shù)可化為同分母，便于合并的，可不必先去分母。例5 解方程解法一：利用分數(shù)的基本性質(zhì)化分母中的小數(shù)為整數(shù)。原方程變形得去分母得（x－5）－（1－x）=3（2x－3）去括號得x－5－1＋x=6x－9移項得x＋x－6x=－9＋5＋1合并同類項得－4x=－3兩邊同除以－4得解法二：兩邊同乘以3，去分母得10（－）－（1－x）=3（2x－3）去括號得x－5－1＋x=6x－9下同解法一。解法三：原方程變形得兩邊同乘以3，去分母得10－10－1＋x=3（2x－3）即x－5－1＋x=6x－9 下同解法一。說明：（1）利用分數(shù)的基本性質(zhì)化分母為整數(shù)時，不要將“分子、分母同乘以一個數(shù)”與“方程兩邊同乘以一個數(shù)”相混淆。（2）分母為小數(shù)需變形時，可利用分數(shù)的基本性質(zhì)、比例的基本性質(zhì)，化分母為整數(shù)或1。（3）分數(shù)線具有除號和括號的作用，去分母時，分子是多項式應(yīng)加上括號。（4）利用同分母分數(shù)相加減的逆運算，應(yīng)注意各項的符號。例6 解方程解：原方程變形得10（－x）－5（－5x）=2（4x－）去括號得12－10x－4＋25x=8x－3移項得－10x＋25x－8x=－3－12＋4合并同類項得7x=－11系數(shù)化為1得說明：化分母為整數(shù)或1時，不一定要同時乘以同一個整十、整百的數(shù)，應(yīng)靈活處理，不含未知數(shù)的小數(shù)一般不變形。本題就是利用去分母的。例7 解關(guān)于x的方程ax－b=cx＋d解：移項得ax－cx=b＋d合并同類項得（a－c）x=b＋d當a－c≠0，即a≠c時，原方程有惟一解；當a－c=0，即a=c，且b＋d=0時，原方程有無數(shù)多個解；當a－c=0，即a=c，且b＋d≠0時，原方程無解。說明：解含有字母系數(shù)的方程，一定要注意所給的條件，保證原方程化為ax=b的形式后x的系數(shù)不為零，這樣才可以將方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)求得結(jié)果?！兑辉淮畏匠獭窂?fù)習指導《一元一次方程》這一章的知識可概括為：方程的基本變形，方程和它的解法及其應(yīng)用。其中，方程的基本變形、方程和它的解是本章的基礎(chǔ)，一元一次方程的解法及其應(yīng)用是本章的重點，列一元一次方程解應(yīng)用題是本章的難點。一、學習目標要求1．了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本變形在解方程中的作用。2．會解一元一次方程，并經(jīng)歷和體驗解方程中“轉(zhuǎn)化”的過程和思想，了解一元一次方程解法的一般步驟，并能正確、靈活地加以運用。3．會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程并求解，能根據(jù)問題的實際意義檢驗所得結(jié)果是否合理。4．結(jié)合“實踐與探索”，在經(jīng)歷“問題情境——建立數(shù)學模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的過程中體會數(shù)學的價值，培養(yǎng)運用數(shù)學知識去分析、解決實際問題的意識與能力，提高思維品質(zhì)。二、基礎(chǔ)知識回顧1．方程、方程的解與解方程注意：方程的解與解方程是兩個不同的概念。方程的解是運算的結(jié)果，是未知數(shù)的一個值，它使方程兩邊的代數(shù)式的值相等；解方程是運算過程。2．方程的基本變形3．一元一次方程從定義來看，一個方程若是一元一次方程，必須滿足三個條件：一、必須是整式方程；二、只含有一個未知數(shù)（故稱作“一元”）；三、未知數(shù)的次數(shù)是1（故稱作“一次”）。例1 下列方程是一元一次方程的是（ ）A．x＋=0 B．2x＋y－3=0 C．x2－2x＋1=0 D．3（x－1）=5x＋2析解：選項A中的方程不是整式方程，所以它不是一元一次方程；選項B中的方程不止一個未知數(shù)，而是含有兩個未知數(shù)x、y，所以它不是一元一次方程；選項C中的方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2不是1，所以它不是一元一次方程。因此，應(yīng)選D。4．解一元一次方程的一般步驟步 驟具 體 方 法依 據(jù)去分母方程兩邊都乘以各分母的最小公分母基本變形2去括號先去小括號，再去中括號、大括號去括號法則移項將含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項移到方程的另一邊基本變形1合并同類項把方程化為的形式ax=b（a≠0）整式加減系數(shù)化為1方程兩邊同除以a，得x=基本變形2注意：能熟練地解方程之后，要注意根據(jù)方程特點尋找快速、簡便、合理的解題方法，不要死記上述解題步驟，要訓練思維的靈活性。例2 解方程分析：這道題的常規(guī)解法是先去分母?，F(xiàn)在，我們用拆項的方法來解，十分簡捷。解：原方程可變形為移項，合并同類項，得－x=∴x=－5．列一元一次方程解應(yīng)用題列一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟可概括為六個字：審、設(shè)、列、解、檢、答。審——仔細審題，讀懂題意，理清數(shù)量關(guān)系。設(shè)——設(shè)未知數(shù)。列——列方程，根據(jù)題目中提供的相等關(guān)系列出方程。解——解方程。檢——檢驗，首先檢驗所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意。答——千萬別忘記單位。以上六個步驟，審題是基礎(chǔ)，難點是找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，關(guān)鍵是設(shè)好未知數(shù)以及解方程準確無誤。設(shè)未知數(shù)的方法常采用直接設(shè)未知數(shù)法，即題目問什么，就設(shè)什么為。三、典型例題析解例3 若單項式－4xm－1yn＋1與xy2是同類項，則m=______，n=________。分析：利用同類項的定義，構(gòu)造一元一次方程求解。解：由同類項的定義知m－1=1，且n＋1=2解得m=2，n=1。例4 解方程分析：解此方程時，不宜一步一步地先去小括號，再去中括號，而應(yīng)從入手。解：先去中括號，得去括號，移項，合并同類項，得例5 解方程分析：解這個方程時，應(yīng)先利用分數(shù)的基本性質(zhì)，把分子、分母中的小數(shù)化成整數(shù)，然后再求解。解：將已知方程變形，得去分母，得5(2－10x)－15=3（2－6x）去括號，移項，合并同類項，得－32x=11∴例6 方程2x＋1=3和方程2x－a=0的解相同，則a的值是_______。分析：先求出方程2x＋1=3的解，再將其代入2x－a=0中即可求出a的值。解：解方程2x＋1=3，得x=1。把x=1代入方程2x－a=0中，得2－a=0?！郺=2例7 求作一個一元一次方程，使其根為－。分析：可先寫出一個與－有關(guān)的算式，再將－換成字母x即可。符合條件的一元一次方程有無數(shù)個。答案：如2x＋1=4x＋2等等。例8 某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件。如果商店銷售這種商品要達到20%的利潤，那么其銷售價應(yīng)是多少？分析：總銷售金額－進貨總成本=進貨總成本20%，以此為等量關(guān)系去列方程求解。解：設(shè)銷售價應(yīng)為x元。根據(jù)題意，得（40＋10）x－（1510＋40）=（1510＋40）20%得x=答：。四、常見誤區(qū)分析本章常見誤區(qū)是在解一元一次方程時出現(xiàn)錯誤。例8 解方程錯解：去分母得2（2x－5）－1=3（3x＋1）－（1－5x）去括號得4x－10－1=9x＋3－1－5x移項得4x＋9x－5x=3－1－10－1合并同類項得8x=－9系數(shù)化為1得x=－分析 ：錯解中有三處錯誤（也是同學們?nèi)菀追傅腻e誤）。第一處錯誤是去分母時，不含分母的項－1漏乘了6；第二處錯誤是去括號時，括號前是“－”號，去掉括號，括號內(nèi)第一項后面的項未變號，這里－（1－5x）=－1＋5x；第三處錯誤是移項都未變號。請同學們完成正確的求解過程。（答案：x=－）一次方程應(yīng)用題解法例談知識要點（一）解應(yīng)用題的一般步驟審、設(shè)、列、解、檢、答?？谠E：已知未知先分辨，等量關(guān)系是關(guān)鍵，抓住關(guān)鍵列方程，答語之前先檢驗。其中，審清題意是列方程的基礎(chǔ)，找出等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵。列方程解應(yīng)用題的流程：實際問題數(shù)量關(guān)系方程解答（二）審清題意，分析數(shù)量關(guān)系的方法有三種1．解析法；2. 圖示法（線段示意圖）；3. 列表法（三）所列方程必須滿足三個條件1．方程兩邊表示同類量；2．方程兩邊同類量的單位一致；3．方程兩邊的數(shù)量關(guān)系相等。（四）常見類型1．和、差、倍、分問題等量關(guān)系：兩數(shù)和=較大數(shù)＋較小數(shù)較大數(shù)=較小數(shù)倍數(shù)增（減）數(shù)2．調(diào)配問題等量關(guān)系：調(diào)配后，新的甲、乙兩方的倍比關(guān)系3．等積變形問題等量關(guān)系：變形前的質(zhì)量=變形后的質(zhì)量 變形前的體積=變形后的體積4．利息問題基本關(guān)系：利息=本金利率期數(shù)等量關(guān)系：本息和=本金＋利息=本金＋本金利率期數(shù)稅后利息=本金利率期數(shù)（1－利息稅率）5．增長（或降低）率問題等量關(guān)系：增長率=100%實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)＋（1＋增長率）實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)（1－減少率）6．市場經(jīng)濟問題等量關(guān)系：商品的利潤=商品的售價－商品的進價商品的利潤率=100%7．行程問題基本關(guān)系：s=vt，v=，t=等量關(guān)系：（1）相向相遇問題：甲、乙所走路程的和=A、B兩地的距離同時出發(fā)到相遇時，甲、乙所用時間相等（2）同向追及問題： 乙所走路程的差=A、B兩地的距離從開始追趕到追及時，甲、乙所用時間相等