【正文】 乙兩處，使在甲處勞動(dòng)的人數(shù)為在乙處勞動(dòng)的人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？分析：等量關(guān)系為：調(diào)往甲處的人數(shù)＋調(diào)往乙處的人數(shù)=20調(diào)入后甲處人數(shù)=調(diào)入后乙處人數(shù)的2倍解：設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，則就調(diào)往乙處（20－x）人。例2 A、B兩地相距169千米，甲車以42千米/小時(shí)的速度從A地駛向B地，出發(fā)30分鐘后因機(jī)器故障需停車修理，這時(shí)乙車以39千米/小時(shí)的速度從B地向A地駛來。另外在列出的方程中，同類量的單位要統(tǒng)一，如時(shí)間單位都用小時(shí)，距離單位都用千米。例4 環(huán)湖一周為900米，甲每分鐘行走60米，乙的速度是甲的倍，甲、乙分別在相距300米的A、B兩處（如圖）（1）若甲、乙同時(shí)沿近路相向而行，多長時(shí)間相遇？（2）若甲、乙同時(shí)按相反方向沿遠(yuǎn)路而行，經(jīng)過多長時(shí)間相遇？（3）若甲、乙同時(shí)按順時(shí)針方向走，經(jīng)過多長時(shí)間第一次相遇？經(jīng)過多長時(shí)間第二次相遇？解：（1）若甲、乙同時(shí)沿近路相向而行，相遇所需的時(shí)間設(shè)為x分鐘。例5 李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元。根據(jù)題意得（1－10%）x＋（1＋5%）（100－x）=（1＋2%）100解這個(gè)方程得x=20∴100－x=80答：甲、乙原來的單價(jià)分別為20元、80元。例7 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，如果個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換，比原數(shù)大18。根據(jù)題意得10（x＋2）＋x=[10x＋（x＋2）]＋18化簡(jiǎn)得0例8 要將含鹽30%的鹽水20千克變成含鹽50%的鹽水。根據(jù)題意得2030%＋60%z=（20＋z）50%解得z=40說明：濃度配比問題涉及的三個(gè)量是溶液的質(zhì)量、溶質(zhì)的質(zhì)量和百分比濃度，可歸納為稀釋類、加濃類和混合類三種基本類型。在代數(shù)中，未知數(shù)一般用字母x、y、z表示。解：因?yàn)?是方程px＋5q=97的根，所以p1＋5q=97若p是奇數(shù)，5q應(yīng)為偶數(shù)，q就只能是偶質(zhì)數(shù)2，此時(shí)p=97－52=87=329，與p為質(zhì)數(shù)的條件不符，所以只能p是偶質(zhì)數(shù)2。例4 有理數(shù)，8恰是下列三個(gè)方程(1)(2)3(2y＋1)=2（1＋y）＋3（y＋3）(3)的根，則的值等于______________。例5 解方程∣1990x－1990∣=1990分析：這是含有絕對(duì)值的方程，去掉絕對(duì)值符號(hào)可以變?yōu)閮蓚€(gè)一元一次方程來求解。解法二：若1990x≥1990，則1990x－1990=1990即1990x=3980得x=2若1990x1990，則1990x－1990=－1990，即1990x=0得x=0經(jīng)檢驗(yàn)，x=2，x=0都是原方程的根。問題就好辦了。因此可得到方程=。第一天， 吃掉，扔掉4個(gè)，剩余x－－4=（－4）個(gè)；第二天， 吃掉的核桃數(shù)為[（－4）－3]個(gè)，剩余（－4）－[（－4）－3]=[（－4）＋3]個(gè)。甲由A到B后立即返回，在歸途中與乙在C點(diǎn)相遇，其中A—B—C表示了甲行進(jìn)的路程，虛線A—C表示了乙行進(jìn)的路程。抓住了這個(gè)等量關(guān)系，我們就可以列出方程20x＋16x=2126。解法二：設(shè)乙走的路程AC為xkm，則甲由A—B—C的路為（2126－x）km。在勻速飛行中，順風(fēng)飛行的速度=無風(fēng)時(shí)的速度＋風(fēng)速逆風(fēng)飛行時(shí)的速度=無風(fēng)時(shí)飛行的速度－風(fēng)速解法一：設(shè)兩個(gè)城市之間的距離為xkm，則順風(fēng)飛行的速度為，逆風(fēng)飛行的速度為。先要弄清一些基本概念：兩種物質(zhì)的均勻的分子混合物叫做溶液，被溶解的物質(zhì)（如鹽）叫溶質(zhì)，溶解物質(zhì)的介質(zhì)（比如水）叫做溶劑，在一定量的溶液中所含溶質(zhì)的量叫做溶液的濃度。一般地，濃度為p%的鹽水Mg要變?yōu)闈舛葹閝%的鹽水Ng，需加入濃度為r%的鹽水多少克？抓住“甲溶液中的溶質(zhì)與乙溶液中的溶質(zhì)含量之和等于混合液中溶質(zhì)的含量”這個(gè)等量關(guān)系，設(shè)需加入濃度為r%的鹽水xg，則可列出方程M第七章 二元一次方程組《二元一次方程組》知識(shí)梳理方程組是方程內(nèi)容的深化和發(fā)展，二元一次方程組是方程組內(nèi)容的開端。其一般形式為ax+by=c(c?b≠0)2．二元一次方程的解：能適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解。3．二元一次方程組的解的情況：當(dāng)時(shí)，二元一次方程組有惟一一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，二元一次方程組無解；當(dāng)時(shí)，二元一次方程組有無數(shù)多個(gè)解。（五）應(yīng)用問題是把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、典型化，借以培養(yǎng)同學(xué)們分析問題和解決問題的能力。在列二元一次方程組時(shí)，要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，假設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，選擇兩個(gè)不同的等量關(guān)系，由此列出兩個(gè)含有這兩個(gè)未知數(shù)的等式，建立方程組，然后再求出方程組的解，從而解決問題。4．已知2x3m＋ny7與x8y2m－n是同類項(xiàng)，則m=_______，n=_______。 2x＋3y=4 4x－3y=28．關(guān)于x、y的二元一次方程組 3x－ay=16的解是 x=7，那么關(guān)于x、y的二元一次方程 2x＋by=15 y=1組 3（x＋y）－a（x－y）=16 2（x＋y）＋b（x－y）=15的解是______________。這種解法叫做代入消元法。（1）當(dāng)某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，兩個(gè)方程相加把這個(gè)未知數(shù)消去；（2）當(dāng)某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)方程相減把這個(gè)未知數(shù)消去； （3）若未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，可利用方程的變形原理2將方程兩邊都乘以一個(gè)正數(shù)，把未知數(shù)的系數(shù)化成絕對(duì)值相等，再進(jìn)行加減，消去一個(gè)未知數(shù)。 （2）對(duì)于含有小數(shù)或分?jǐn)?shù)的方程組，通常是將小數(shù)和分?jǐn)?shù)化為整數(shù)后再確定用何種方法來解。解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得方程組x－2y－3=0 解得 x=1 x＋3y＋2=0 y=－1把x、y的值代入已知條件所給出的方程組得a－2=b 解得 a=3 4＋b=2a－1 b=1聚焦二元一次方程（組）考點(diǎn)概述1．二元一次方程的概念按定義判斷一個(gè)方程是否是二元一次方程，應(yīng)考慮：（1）含有兩個(gè)未知數(shù)；（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；（3）方程兩邊的代數(shù)式都必須是整式。（2）不死記硬背例題型和解法，要努力學(xué)習(xí)分析問題的本領(lǐng)。（2003年無錫） y=1解：將 x=2代入已知方程中，得22－1＋3k=0 y=1解得k=－1例2 王老師在課堂上給出了一個(gè)二元方程x＋y=xy，讓同學(xué)們找出它的解。 （2003年黑龍江）解：取x=1代入已知方程中，求得y=4；還可求得 x=3等。解：由題意知 x=2 和 x=3 都是方程ax＋by=2的解，因此有 2a＋4b=2 y=4 y= 3a＋=10解得 a=5 b=－2把 x=2 代入cx＋2y=10中，得2c＋24=10，∴c=1 y=4因此正確的c=1，b=－2例9 寫出一個(gè)以 x=0 為解的二元一次方程組。問：（1）甲、乙兩人單獨(dú)完成此工程每天各需費(fèi)用多少元？（2）甲、乙兩人單獨(dú)完成此工程各需多少天？（3）哪一個(gè)人單獨(dú)完成此工程的費(fèi)用較省？解：（1）設(shè)甲、乙兩人單獨(dú)完成此工程每天各需費(fèi)用x元、y元。（3）設(shè)甲、乙兩人單獨(dú)完成此工程各需費(fèi)用a元、b元。從“牛吃草”問題談起在牛頓的《普通的算術(shù)》里有一道關(guān)于牛吃草的問題：有三片牧場(chǎng)，牧場(chǎng)上的草是一樣密的，而且長得一樣快。也就是說，草是不停地長著的。在這個(gè)問題中，三片牧場(chǎng)的面積都已經(jīng)知道，可以直接構(gòu)造關(guān)于x、y的二元一次方程組來解決問題。根據(jù)題意，可列出方程組a＋24x=7024y 解得 x=a＋60x=3060y y=如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，設(shè)要頭牛，則 a＋96x=96這樣的解題策略，還可以用來解決下面的問題。二、求代數(shù)式的值例2 已知方程組 x－2y＋4z=0 ，且xyz≠0 2x＋3y－13z=0求代數(shù)式的值。三、解應(yīng)用題例3 某校食堂在開晚餐前，有若干名學(xué)生在食堂排隊(duì)等候買晚餐。為了提高服務(wù)質(zhì)量，減少學(xué)生排隊(duì)的時(shí)間，食堂計(jì)劃在8分鐘內(nèi)讓排隊(duì)等候的學(xué)生全部買到晚餐，以使后到的學(xué)生能隨到隨買，問至少要同時(shí)開放幾個(gè)窗口？分析：這是一個(gè)排隊(duì)問題，看似只有一個(gè)未知數(shù)——同時(shí)開放幾個(gè)窗口，實(shí)質(zhì)上還有三個(gè)未知數(shù)：原來等候的學(xué)生人數(shù)、前來排隊(duì)的每分鐘增加的學(xué)生人數(shù)、每個(gè)窗口賣晚餐的速度。n ∴ a＋8例4某市電信局現(xiàn)有600部已申請(qǐng)裝機(jī)的固定電話尚待裝機(jī)，此外每天還有新申請(qǐng)裝機(jī)的電話也待裝機(jī)。本題一共有3個(gè)未知量。在無上游洪水注入的情況下，只要打開一個(gè)水閘泄洪就可使水庫水位勻速下降。本題的關(guān)鍵是要在變化的過程中求出水庫水位的下降速度和上升速度，從而求出同時(shí)打開6個(gè)泄洪閘3小時(shí)后的水位，以求解決問題。例6 有一口能持續(xù)涌出泉水的井，每小時(shí)涌出的水量相等。二元一次方程組綜合問題例1 若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，求（n＋1）1995＋m的值。由于方程組各項(xiàng)的系數(shù)都比較大，直接代入消元或加減消元運(yùn)算會(huì)比較繁。但∣x＋y－1∣≧0，所以只能∣x＋y－1∣=0=∣x－y＋2∣。a、b的運(yùn)算a＋ba－b運(yùn)算結(jié)果－49－97問表中空格內(nèi)所填的數(shù)就是多少？解：從上表可知a、b滿足二元一次方程組 a＋b=－49 a－b=－97利用加減消元法求得 a=－73 b=24所以所以表中空格內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是－3。求x4＋y3的值。解：設(shè)原方程組為 ax＋by=2 ① 3c－7y=8 ②由于 x=3 是這個(gè)方程組的解， y=－2 所以 3a－2b=2 ③ 3c＋14=8 ④由④式解出c=－2小明由于看錯(cuò)了c，而解出了 x=－2 y=2這表明x=－2，y=2只滿足①式，即－2a＋2b=2 ⑤聯(lián)立③、⑤，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組 3a－2b=2 －2a＋2b=2利用加減消元法可解得 a=4，因此原來的方程組為 4x＋5y=2 b=5 －2x－7y=8例8 購買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)如下表所示：品名次數(shù)A1A2A3A4A5總錢數(shù)第一次采購的件數(shù)134561992元第二次采購的件數(shù)1579112984元問每種教具各購買一件共需多少元？ 解：設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價(jià)分別為x1，x2，x3，x4，x5元。例9 一次考試共需做20道小題，做對(duì)一題得8分，做錯(cuò)一題減5分，不做記0分。Z=7符合題意，所以這個(gè)學(xué)生有7道題沒做。求參加搬磚的學(xué)生人數(shù)。故所求學(xué)生人數(shù)是17人。4．將1400元獎(jiǎng)金分給22位得獎(jiǎng)?wù)撸渲幸坏泉?jiǎng)每人200元，二等獎(jiǎng)每人50元，則一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)人數(shù)各是（ ）A．一等獎(jiǎng)3人，二等獎(jiǎng)19人 B．一等獎(jiǎng)2人，二等獎(jiǎng)20人C．一等獎(jiǎng)5人，二等獎(jiǎng)17人 D．一等獎(jiǎng)4人，二等獎(jiǎng)18人5．在長方形ABCD中，放入六個(gè)形狀、大小相同的長方形，所示尺寸如圖2所示。3．掌握三角形的分類。關(guān)鍵是運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。2．三角形中有哪些重要線段？答：（1）三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。一個(gè)三角形有三條中線，它們都位于三角形內(nèi)部。銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，如圖3，在銳角△ABC中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB邊上的高。它有以下性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角；（3）外角與其相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角；（4）三角形的外角和等于3600。因此，可將三角形按角進(jìn)行如下的分類：直角三角形三角形 斜三角形 銳角三角形鈍角三角形（2）三角形有邊和角兩類元素，對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，除了按角進(jìn)行分類外，還可按邊的相等關(guān)系來分。6．什么是三角形的穩(wěn)定性？答：通過已知三條線段畫三角形的操作實(shí)踐，我們可以體會(huì)到：三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。 如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形。9．多邊形的內(nèi)角和公式是什么？如何驗(yàn)證？答：多邊形的內(nèi)角和公式是：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）1800。多邊形內(nèi)角和公式還有許多其他證法。邊長為1的三角形有1＋3＋5＋7=16（個(gè)）邊長為2的三角形有1＋2＋3＋1=7（個(gè)）邊長為3的三角形有1＋2=3（個(gè)）邊長為4的三角形有1個(gè)，∴圖中共有16＋7＋3＋1=27（個(gè)）三角形。例3 （2002年吉林省中考題）木工師傅在做完門框后，為防止變形，常常像圖7所示釘上兩根斜拉的木條（即圖中的AB、CD兩根木條），這樣根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是________________