【正文】 矩陣分析 ? 主講教師：魏豐 第三章 內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與 H陣 定義： 設(shè) 是實(shí)數(shù)域 上的 維線性空間，對于 中的任意兩個向量 按照某一確定法則對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)，這個實(shí)數(shù)稱為 與 的 內(nèi)積 ，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件： V R nV ,???? ( , )??( 1 ) ( , ) ( , )( 2 ) ( , ) ( , )( 3 ) ( , ) ( , ) ( , )( 4 ) ( , ) 0kk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ??這里 是 中任意向量， 為任意實(shí)數(shù) ，只有當(dāng) 時 ，我們稱帶有這樣內(nèi)積的 維線性空間 為 歐氏空間。 例 1 在 中，對于 規(guī)定 容易驗(yàn)證 是 上的一個內(nèi)積，從而 成為一個歐氏空間。如果規(guī)定 ,? ? ? V k0? ? ( , ) 0?? ?n VnR1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nnx x x y y y????1 1 1 2 2( , ) nnx y x y x y?? ? ? ? ?1( , )nRnR2 1 1 2 2( , ) 2 nnx y x y n x y?? ? ? ? ?容易驗(yàn)證 也是 上的一個內(nèi)積 ，這樣 又成為另外一個歐氏空間。 2( , ) nR 例 2 在 維線性空間 中，規(guī)定 容易驗(yàn)證這是 上的一個內(nèi)積，這樣 對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。 例 3 在線性空間 中，規(guī)定 nmR ?nm( , ) : ( )TA B T r A B?[ , ]C a bnmR ? nmR ?nR( , ) : ( ) ( )baf g f x g x d x? ?容易驗(yàn)證 是 上的一個內(nèi)積，這樣 對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。 定義： 設(shè) 是復(fù)數(shù)域 上的 維線性空間，對于 中的任意兩個向量 按照某一確定法則對應(yīng)著一個復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)稱為 與 的 內(nèi)積 ，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件： ( , )fg [ , ]C a b[ , ]C a bV C nV,??? ?( , )??( 1 ) ( , ) ( , )( 2 ) ( , ) ( , )( 3 ) ( , ) ( , ) ( , )( 4 ) ( , ) 0kk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ??這里 是 中任意向量， 為任意復(fù)數(shù) ，只有當(dāng) 時 ，我們稱帶有這樣內(nèi)積的 維線性空間 為 酉空間。 歐氏空間與酉空間通稱為 內(nèi)積空間。 例 1 設(shè) 是 維復(fù)向量空間，任取 ,? ? ?0? ? ( , ) 0?? ?n VV knC n1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nna a a b b b????規(guī)定 容易驗(yàn)證 是 上的一個內(nèi)積，從而 成為一個酉空間。 例 2 設(shè) 表示閉區(qū)間 上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義 1 1 2 2( , ) : ( )Tnna b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ?( , ) nCnC[ , ]C a b [ , ]ab( , ) : ( ) ( )baf g f x g x dx? ?容易驗(yàn)證 是 上的一個內(nèi)積，于是 便成為一個酉空間。 例 3 在 維線性空間 中，規(guī)定 其中 表示 中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證 是 上的一個內(nèi)積，從而 連同這個內(nèi)積一起成為酉空間。 內(nèi)積空間的基本性質(zhì) ： ( , ) [ , ]C a b[ , ]C a b2n nnC ?( , ) : ( )HA B T r AB?HB B( , ) nnC ?nnC ?1111( 1 ) ( , ) ( , )( 2 ) ( , ) ( , ) ( , )( 3 ) ( , ) ( , )( 4 ) ( , ) ( , )tti i i iiitti i i iiikkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ???????歐氏空間的性質(zhì)： 酉空間的性質(zhì)： 1111( 1 ) ( , ) ( , )( 2 ) ( , ) ( , ) ( , )( 3 ) ( , ) ( , )( 4 ) ( , ) ( , )tti i i iiitti i i iiikkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ???????定義：設(shè) 是 維酉空間， 為其一組基底，對于 中的任意兩個向量 那么 與 的內(nèi)積 V n ? ?i?V11,nni i j jijxy? ? ? ???????? ?1 1 , 1( , ) ( , ) ( , )n n ni i i i i j i ji j i jx y x y? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?令 ( , ) , , 1 , 2 , ,ij i jg i j n????11 12 121 22 212nnn n nng g gg g gGg g g?????????????稱 為基底 的 度量矩陣 ，而且 定義 ：設(shè) ，用 表示以 的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記 G ? ?i?, ( ) Tij ijg g G G??nnAC ?? A A()HTAA?則稱 為 的 復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣 。不難驗(yàn)證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)： HA A( 1 ) ( )( 2 ) ( )( 3 ) ( )( 4 ) ( )HTHHHHHH H HAAA B A Bk A k AAB B A?? ? ???11( 5 ) ( ) ( )( 6 ) ( )( 7 )(8 ) ( ) ( )k H H kHHHHAAAAAAAA??????定義 ：設(shè) ,如果 ，那么稱 為 Hermite矩陣；如果 ，那么稱 為反 Hermite矩陣。 例 判斷下列矩陣是 H陣還是反 H陣。 nnAC ?? HAA?A HAA??A4 2 4 2( 1 ) 2 14 2 1 26 1 2 3( 2 ) 1 2 9 13 1 7i i iiiiiiiiiii??????????? ? ? ??????????????? ? ?????0 1 8( 3 ) 1 0 48 4 03 1 3 2( 4 ) 1 3 4 1 52 1 5 5iiiiiiiiiiii?????? ? ????????????????????????（ 5） 實(shí)對稱矩陣 （ 6） 反實(shí)對稱矩陣 （ 7） 歐氏空間的度量矩陣 （ 8） 酉空間的度量矩陣 內(nèi)積空間的度量 定義： 設(shè) 為酉（歐氏）空間，向量 的 長度 定義為非負(fù)實(shí)數(shù) 例 在 中求下列向量的長度 V V? ?( , )? ? ??4C( 1 ) ( 1 2 , , 3 , 2 2 )( 2 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 )i i i??? ? ? ???解 ： 根據(jù)上面的公式可知 一般地，我們有 : 對于 中的任意向量 其長度為 5 1 9 6 2 11 4 9 1 6 3 0??? ? ? ? ?? ? ? ? ?nC12( , , , )na a a? ?21niia??? ?這里 表示復(fù)數(shù) 的模。 定理 ：向量長度具有如下性質(zhì) 當(dāng)且僅當(dāng) 時， ia ia( 1 ) 0? ? 0? ? 0? ?( 2 ) ,k k k C????( 3 )( 4 ) ( , )? ? ? ?? ? ? ?? ? ??例 1： 在線性空間 中，證明 例 2 設(shè) 表示閉區(qū)間 上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對于任意的 ，我們有 ()nnMC?( ) ( ) ( )H H HT r A B T r A A T r B B?[ , ]C a b [ , ]ab( ) , ( ) [ , ]f x g x C a b?22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ? ?定義： 設(shè) 為歐氏空間，兩個非零向量 的 夾角 定義為 于是有 定理 ： V ,??( , ), : a rc c o s???????0,2?????, ( , ) 02?? ? ? ?? ? ?因此我們引入下面的概念 。 定義 ：在酉空間 中，如果 ，則稱 與 正交。 定義 ： 長度為 1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量 ，向量 總是單位向量，稱此過程為 單位化 。 V ( , ) 0?? ?? ????標(biāo)準(zhǔn)正交基底與 Schmidt正交化方法 定義：設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，如果 內(nèi)的任意兩個向量彼此正交，則稱其為 正交的向量組。 定義：如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為 標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。 例 在 中向量組 ? ?i?? ?i?3C1232 1 2 2 2 1[ , , ], [ , , ]3 3 3 3 3 31 2 2[ , , ]3 3 3???? ? ? ? ??與向量組 都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 123[ c o s