第3章-矩陣的分解(已修改)
2025-08-17 09:59 本頁面
【正文】 第 3章、 矩陣的分解 Matrix Factorization and Deposition 矩陣分解的概述 矩陣的分解： A=A1+A2+… +Ak 矩陣的和 A=A1A2 … Am 矩陣的乘積 矩陣分解的原則： 實際應(yīng)用的需要 理論上的需要 計算上的需要 顯示原矩陣的某些特性 矩陣化簡的方法之一 主要技巧： 各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計算方法 矩陣的分塊 167。 常見的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解 常見的標(biāo)準(zhǔn)形 等價標(biāo)準(zhǔn)形 相似標(biāo)準(zhǔn)形 合同標(biāo)準(zhǔn)形 本節(jié)分解： 三角分解 滿秩分解 可對角化矩陣的譜分解 nnrmmnm Q000IpA??? ???????1Ann PPJA ?? ?Tnn CCA ???AT=A 相似標(biāo)準(zhǔn)形 等價標(biāo)準(zhǔn)形 一、矩陣的三角分解 方陣的 LU和 LDV分解 （ ） LU分解： A?Fn?n， 存在下三角形矩陣 L ，上三角形矩陣 U ， 使得 A=LU。 LDV分解 ： A?Fn?n， L、 V分別是主對角線元素為 1的下三角形和上三角形矩陣， D為對角矩陣 ， 使得 A=LDV。 已知的方法 ： Gauss消元法 例題 1 （ ） 設(shè) 求 A的 LU和 LDV分解。 結(jié)論 ：如果矩陣 A能用兩行互換以外的 初等行變換化為階梯形，則 A有 LU分解。 ????????????542774322A三角分解的存在性和惟一性 定理 （ ） ： ? 矩陣的 k 階主子式 ： 取矩陣的前 k行、前 k列得到的行列式， k=1， 2， … ， n。 ? 定理 : A?Fn?n有惟一 LDV分解的充要條件是 A的順序主子式 Ak非零， k =1， 2， … ， n1。 ? 證明過程給出了 LDV分解的一種算法。 ? 定理 （ ） 設(shè)矩陣 A?Fn?n ， rank（ A） =k（ ? n）， 如果 A的 j階順序主子式不等于 0， j =1， 2， … ， k,則 A有 LU分解。 ? 定理條件的討論 ? 例題 2 （ eg2） ? LU分解的應(yīng)用舉例 二、矩陣的滿秩分解 定義 （ ） 對秩為 r 的矩陣 A?Fm?n ，如果存在秩為 r的矩陣 B ?Fm?r， C?Fr?n ， 則 A=BC為 A 的滿秩分解。 實用方法：方法 3 例題 2 （ ， eg5） 列滿秩 行滿秩 定理 ： 任何非零矩陣 A?Fm?n都有滿秩分解。 滿秩分解的求法： 方法 1： 方法 2 例題 1（ ， eg4 ） 方法 3 例題 3（ ， eg6） 三、可對角化矩陣的譜分解 將方陣分解成用譜加權(quán)的矩陣和 譜：設(shè) A?Fn?n ， 則 A的譜 ={?1， ?2， ? ， ?s}
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