直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離公式(已修改)
2025-08-17 09:17 本頁面
【正文】 [備考方向要明了]考 什 么怎 么 考．、點(diǎn)到直線的距離公式、會求兩條平行直線間的距離.，常作為知識點(diǎn)出現(xiàn)在相關(guān)的位置關(guān)系中．，點(diǎn)到直線的距離公式是高考考查的重點(diǎn)，一般將這兩個(gè)知識點(diǎn)結(jié)合直線與圓或圓錐曲線的問題中來考查.[歸納知識整合]1．兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解，(1)若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行，反之，亦成立．[探究] ？提示：當(dāng)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時(shí)，兩條直線平行，有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條直線重合．2．距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝[探究]??？提示：使用點(diǎn)到直線距離公式時(shí)要注意將直線方程化為一般式．使用兩條平行線間距離公式時(shí)，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對應(yīng)相等．[自測牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是( )A．1 B.C．2 D.解析：選D d＝＝.2．點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長為( )A．10 B．5C．8 D．6解析：選A 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．所以|AB|＝＝＝10.3．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝( )A．－1 B．－C．2 D.解析：選B 由得將其代入x＋by＝0，得b＝－.4．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為________．解析：設(shè)直線l1的方程為x＋y＋λ＝0，則＝＝，解得λ＝1或λ＝－＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)是________．解析：設(shè)對稱點(diǎn)為(a，b)，則解得答案：(－4，－3)兩條直線的交點(diǎn)問題[例1] (1)經(jīng)過直線l1：x＋y＋1＝0與直線l2：x－y＋3＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：2x－y＋2＝0垂直的直線l的方程是________________．(2)已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0，若l1與l2相交，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程組解得即點(diǎn)P(－2,1)，∵l3⊥l，∴k＝－，∴直線l的方程為y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.法二：∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線l的方程為x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.∵l與l3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－.∴直線l的方程為x＋y＝0，即x＋2y＝0.(2)因?yàn)閮芍本€l1與l2相交，所以當(dāng)m＝0時(shí)，l1的方程為y＝－，l2的方程為x＝，兩直線相交，此時(shí)m，n滿足條件m＝0，n∈R；當(dāng)m≠0時(shí)，由兩直線相交．所以≠，解得m≠177。4，此時(shí)，m，n滿足條件m≠177。4，n∈R.[答案] (1)x＋2y＝0 (2)m≠177。4，n∈R若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程．解：由方程組解得 即點(diǎn)P(－2，1)．又l∥l3，即k＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.———————————————————經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直
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