【正文】 第六章 平面向量和復(fù)數(shù) 第一節(jié) 平面向量的概念及加、減、數(shù)乘 第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積 *第三節(jié) 復(fù)數(shù)的概念 *第四節(jié) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 *第五節(jié) 復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算 *第六節(jié) 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式及在電工學(xué)中的應(yīng)用 第一節(jié) 平面向量的概念及加、減、數(shù)乘 一、平面向量的概念 在幾何學(xué)、物理學(xué)以及日常生活中，我們常遇到許多的量 .有一類(lèi)量比較簡(jiǎn)單，在取定單位后可由一個(gè)實(shí)數(shù)完全確定，如長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間、質(zhì)量、溫度等，這種只有大小的量叫做數(shù)量；另外還有一類(lèi)比較復(fù)雜的量，例如位移、力、速度、加速度等，它們不但有大小，而且有方向，這種量就稱(chēng)為向量 . 定義 1 既有大小又有方向的量叫做 向量 ，或稱(chēng)做 矢量 ,. , , ( 6 2) , , . ,AB A B a ba A B a A B, , a b c? 我 們 用 有 向 線(xiàn) 段 來(lái) 表 示 向 量 有 向 線(xiàn) 段 的 長(zhǎng) 度 表 示 向 量 的大 小 , 或 稱(chēng) 向 量 的 模 , 有 向 線(xiàn) 段 的 方 向 代 表 向 量 的 方 向 , 有 向線(xiàn) 段 的 始 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) 分 別 叫 做 向 量 的 始 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) , 始 點(diǎn) 為 , 終點(diǎn) 為 的 向 量 記 作 有 時(shí) 也 用 來(lái) 表 示 向 量 圖向 量 和 的 模 分 別 記 作 和 習(xí) 慣 上 用 黑 體 字母 表 示 向 量 , 在 書(shū) 寫(xiě) 時(shí) , 則 用 aaa b c ,A B CD 或 表 示 向 量 .AB圖 61 向 量 62?圖 向 量 aABABa.,. 在 實(shí) 際 問(wèn) 題 當(dāng) 中 有 許 多 向 量 與 其 起 點(diǎn) 無(wú) 關(guān) 而 一 切 向 量的 共 性 是 它 們 有 大 小 和 方 向 , 在 數(shù) 學(xué) 中 , 我 們 只 研 究 與 起 點(diǎn) 無(wú)關(guān) 的 向 量 . 這 樣 的 向 量 稱(chēng) 之 為 自 由 向 量 . 這 樣 , 平 面 內(nèi) 任 意 點(diǎn)都 可 以 作 出 向 量 的 起 點(diǎn) . 將 起 點(diǎn) 放 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 處 , 終 點(diǎn) 在 點(diǎn)的 向 量 稱(chēng) 為 點(diǎn) 的 向 徑 和 徑 矢 顯 然 向 量 和 平 面 上 的 點(diǎn)是 一 一 對(duì) 應(yīng) 的OM O M M,.,.. 我 們 規(guī) 定 如 果 向 量 和 的 模 相 等 并 且 方 向 也 相 同 則 稱(chēng)它 們 是 相 等 的 記 作 非 零 向 量 和 方 向 相 同 或 方 向 相 反 ,則 稱(chēng) 和 平 行 , 記 作 和 向 量 方 向 相 反 長(zhǎng) 度 相 等 的 向 量叫 做 的 記 作 模 為 1 個(gè) 長(zhǎng) 度 單 位 的 向 量 叫 做 單長(zhǎng) 度 為 零 的 向 量 叫 做 . 記 作 為 零 向 量 的 方 向 不確 定 視 情 況 而 定 和 向 量 方 向 相 同 且 長(zhǎng) 度 為 1 的 向 量 稱(chēng) 為的 單 位 向 量 記 作相 反 向 量 , 位向 量 .零 向 量0a b , a = b. a ba b a// b. a ,a a.aa,a0 0二、平面向量的加法與減法 , O O A O BO A O B O A C B O C 在 力 學(xué) 中 我 們 知 道 作 用 在 點(diǎn) 的 兩 個(gè) 不 共 線(xiàn) 的 力 , 的 合力 是 以 , 為 鄰 邊 的 平 等 四 邊 形 的 對(duì) 角 線(xiàn) 向 量 ( 圖 63).( 6 4) .OO A O B O A O B O A CBO C O C??義 已 知 平 面 上 的 兩 個(gè) 向 量 和 以 平 面 上 任 一 點(diǎn) 為始 點(diǎn) 作 向 量 = 以 , 為 鄰 邊 作 平 行 四 邊 形 ,它 的 對(duì) 角 線(xiàn) 向 量 , 稱(chēng) 為 兩 的 和 記 為 圖 定 2向 量 與a b ,a , b ,a b , a + b =這種求兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的 平行四邊形法則 . 63?圖 合 力 示 意 圖O AB Cab圖 64 定 義 2示 意O AB C,OAO A A B A BO B O B O BO A O B 在 物 理 學(xué) 中 , 我 們 知 道 一 質(zhì) 點(diǎn) 從 點(diǎn) 出 發(fā) 到 達(dá) 點(diǎn) 作 位移 , 如 果 繼 續(xù) 從 點(diǎn) 到 點(diǎn) 作 位 移 那 么 其 結(jié) 果 等于 從 點(diǎn) 到 點(diǎn) 作 位 移 因 此 位 移 可 以 看 作 是 兩次 位 移 與 的 和 .( 圖 65)., , ,( 6 6) .OO A a A A B b OB O BOB??? 義 已 知 平 面 上 兩 向 量 以 平 面 上 任 意 一 點(diǎn) 為 始 點(diǎn)作 向 量 以 為 始 點(diǎn) 作 向 量 那 么 以 為 始 點(diǎn) 為 終 點(diǎn) 的 向 量 就 叫 做 兩 向 量 與 的 和 記 為 圖 我 們 稱(chēng) 這 種 求 向 量 和 的 方 法 為 則 . 三 角 形 法則 用 式 子 表 達(dá) 就 是 :定 3三 角 形 法a , b ,a b , a + b =A B + B C = A C 容 易 驗(yàn) 證 以 上 兩 種 向 量 的 加 法 法 則 是 一 致 的 , 需 要 指 出 的是 平 行 向 量 相 加 , 須 用 三 角 形 法 則 .? ? ? ?? ?。( 3 )向 量 的 加 法 滿(mǎn) 足 下 面 的 運(yùn) 算 律 :(1) 交 換 律 (2) 結(jié) 合 律 + = 0(4 ) 0.?a + b = b + a。a + b c a + b + ca + = a。a + a65 O B = O A + A B?圖 O AB66?圖 三 角 形 法 則 的 圖 形abOAB下在我們定義向量的減法 . ? ? .義 減 去 一 個(gè) 向 量 等 于 加 上 它 的 相 反 向 量 , 即 = + a b a b定 4? ?:, , , ,:O O A a O B b BA ?? 這 樣 我 們 得 到 兩 向 量 的 差 的 幾 何 作 圖 法 在 平 面 上 任取 一 點(diǎn) 作 那 么 向 量 即 為 圖 67 這 是因 為ab? ?BA BO O A??? ?? ?? b + a = a + ba b. 至此，我們知道向量的加法和減法可以像實(shí)數(shù)的加法與那樣進(jìn)行，例如，減正等于加負(fù)，移項(xiàng)變號(hào)等 . B A ?圖 67 abO ABab三、數(shù)乘向量 在 物 理 學(xué) 中 我 們 知 道 力 質(zhì) 量 加 速 度?:= 力 和 加 速 度 都 是 向 量 , 質(zhì) 量 是 數(shù) 量 , 如 果 用 與 分 別表 示 力 , 加 速 度 與 質(zhì) 量 , 那 么 上 面 的 公 式 可 以 寫(xiě) 成 :mf , a=mfa這 說(shuō) 明 向 量 與 數(shù) 量 有 一 種 結(jié) 合 關(guān) 系 .,義 向 量 與 實(shí) 數(shù) 的 乘 積 是 一 個(gè) 向 量 , 記 作 的 模等 于 的 模 的 倍 即 的 方 向 當(dāng) 0 時(shí) 與 反向 我 們 把 這 種 運(yùn) 算 叫 做 數(shù) , 簡(jiǎn) 稱(chēng) 數(shù)? ? ?? ? ? ? ? ??a a, aa a a a : , a a, 定 5向 量 與 量 的 乘 法 乘 .0 0 0??顯 然 , 的 充 要 條 件 是 = 或a = a = 。? ? 00 1。 1 a ?a = a 。 a = a a aa? ???? 兩 個(gè) 非 零 向 量 平 行 的 充 要 條 件 是 存 在 一 個(gè) 數(shù) 使得 定 理 中 的 非 零 二 字 可 否 省 去 ?a , ba b . 定 理證 充 分 性 由 向 量 數(shù) 乘 定 義 因 此???a b , b / / b , a / / b .明,?? ? ? 必 要 性 則 與 同 向 或 反 向 若 與 同 向 取 由 向 量相 等 的 定 義 則 若 與 反 向 取 則 有aa //b , a b , a b , =baa = b , a b , = a = b .b向量與數(shù)量的乘法滿(mǎn)足以下運(yùn)算律 . ? ? ? ?? ?? ?(1) 結(jié) 合 律 (2) 第 一 分 配 律 +(3) 第 二 分 配 律 ( 4 ) 1? ? ? ?? ? ? ?? ? ???a a 。a = a + a 。a + b a + b 。 a = a. 至此，對(duì)于向量的加、減及數(shù)乘可以像多項(xiàng)式那樣進(jìn)行運(yùn)算，例如： ? ? ? ?255 2 2 1 0 4 2 1 2??a + b a b a + b a + b = a + b .習(xí) 題 思考題： 課堂練習(xí)題： 、向量、有向線(xiàn)段的含義是什么？ 、零向量、單位向量、相等向量的定義？ . ? ?? ?? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , , , . a b a b a b??任 何 向 量 都 有 確 定 的 大 小 和 方 向 . 零 向 量 的 模 必 為 零 . 向 量 若 則 答 案 答 案 單擊左鍵顯示答案 ?√?2 . , , , 1 , 2 , .如 圖 設(shè) 有 向 量 其 中 求 a b a b a b? ? ? ,. 3. 寫(xiě) 出 圖 中 與 向 量相 等 的 向 量 相 反 的向 量 共 線(xiàn) 向 量AE CDEFA B4 . , , , , , .已 知 向 量 求 作 向 量a b c a b b c c a? ? ?5. , , , , .已 知 向 量 作a b c d a b c d? ? ?6. :化 簡(jiǎn)? ? ? ? ? ?( 1 ) 3 2 。 ( 2 ) 3 4 3 .a b a b a a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2abB A ?D答 案 答 案 答 案 答 案 答 案 第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積 向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算，這一節(jié)再介紹向量的又一種運(yùn)算 . 在 物 理 學(xué) 中 , 我 們 知 道 一 個(gè) 質(zhì) 點(diǎn) 在 力 的 作 用 下 , 經(jīng) 過(guò) 位移 . 那 么 這 個(gè) 力 所 做 的 功 為fsc o sW= ?fs其 中 為 與 的 夾 角 , 這 里 的 功 是 由 向 量 與 按 上 式 確 定的 一 個(gè) 數(shù) 量 .W? f s f s? ? , 義 平 面 上 兩 個(gè) 向 量 與 的 模 和 它 們 的 夾 角 余 弦 的 乘 積叫 做 向 量 的 數(shù) 量 也 稱(chēng) 內(nèi) 積 記 作 或 即 :(! 與 的 數(shù) 量 積也 常 稱(chēng) 為 點(diǎn) 積 又 稱(chēng) 標(biāo) 量 積 )定 1 a b ,a, b a b ab, a b,.? ?c o sa b = a b a , b? ? .O O O A O B O A O B??? 平 面 上 兩 個(gè) 向 量 的 夾 角 , 我 們 這 樣 規(guī) 定 : 在 平 面 上 任 取 一 點(diǎn), 以 為 始 點(diǎn) 作 則 與 之 間 大 于等 于 零 , 小 于 等 于 的 夾 角 , 稱(chēng) 為 的 夾 角 記 為a , b ,a , b , a , b兩 個(gè) 向 量 的 數(shù) 量 積 是 一 個(gè) 數(shù) 而 不 是 向 量 .? ?c o s???如 果 那 么 有 a 0 , b 0 , :aba , bab00, 兩 個(gè) 向 量 相 互 垂 直 的 充 要 條 件 是 ( 若是 否 有 或 ) 定 理 a , b a b = .a b = a = 0 b = 0? ?? ?? ?0 , 0 ,0 , 0 ,20 , c o s???? ? ? ??? 充 分 性 由 可 知 若則 于 是 同 理 若 則 若 cos 可 得 即 a b = a b a , b aa = 0 , a b 。 , b a b 。 a , ba , b a b .? ? , , 022必 要 性 由 可 知 那 么 c o s??? ? ? ?a b , a , b a b = a b22, , .特 別 地 習(xí) 慣 上 寫(xiě) 成 ?2a a = a a a向量的數(shù)量積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律