【正文】 等離子體物理學(xué)（二） 李毅 ? 等離子體中，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、速度、密度、壓力、溫度等任何一個(gè)物理量 一般會(huì)隨空間和時(shí)間變化。 ? 擾動(dòng)量原則上它可以分解為各個(gè)平面波的疊加，即： ? 其中 為波的幅度，是物理量的 Fourior分解： ? 對(duì)于其中任意一支平面波來(lái)說(shuō)， k為波矢， w為頻率。 ? 這里我們用復(fù)數(shù)來(lái)表示波是方便的，取其實(shí)部就是實(shí)際的值。 等離子體中的線性波 ()( , ) ( , ) itkt e d dwy y w w??? ? kxx k k()1( , ) ( , )2itk t e d d twy w y?? ? ?? ? kxk x x( , )kywky? 波的速度可以用相速度和群速度來(lái)描述。相速度是波在保持相位不變的情況下的運(yùn)動(dòng)速度。相位為： ? 相位不變的條件下： ? 得到相速度： 波的相速度 pdxvd t kw??( ) 0dd k x td t d t? w? ? ?t?w? ? ?kx? 波的群速度描述波包整體運(yùn)動(dòng)的速度，而波包是由滿足一定色散關(guān)系的各種頻率的波組成。假設(shè)該波包的色散關(guān)系為 ? 只有頻率滿足此關(guān)系的波才存在，可以表示為： ? 因而由式積分，在波沿 x方向直線傳播情況下得： 波包 ( ( ) )( , ) ( ) i k x k tkx t k e d kwyy ?? ?? ?( , ) ( ) ( )kk ky w y ? w w??kk()kww?? 假設(shè)波包的主要波數(shù)為 k0，對(duì)應(yīng)的頻率 ? 近似有： ? 其中群速度定義為： ? 代入可得： ? 可見(jiàn)波包的包絡(luò)以群速度 vg的速度前進(jìn)。波的相速度可以超過(guò)光速。但群速度一定不能超過(guò)光速，因?yàn)槿核俣瓤梢詡鬟f信息和能量，否則會(huì)違背愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論原理。 波的群速度 0000( ) ( )()( , ) ( )( , )gggi k x v t i k v tki k v tgx t k e dk ex v t t ewwyyy????????0gdvdk ww?00()kww?00( ) ( )gk v k kww ? ? ?? 一支波沿 x方向傳播，在 y、 z兩個(gè)垂直方向上，電場(chǎng)矢量的分量 Ey和 Ez一般可以表示成： ? 其中， Ey0和 Ez0 ， a， b均為常數(shù)。 ? 在 yz平面上的電場(chǎng)分量滿足： 波的旋轉(zhuǎn)與偏振 00c o s ( ) , c o s ( )y y z zE E k x t E E k x tw a w b? ? ? ? ? ?022220 0 0c o s( ) c o s( ) si n ( ) si n ( )[ c o s( ) ] si n ( ) ( 1 )zzyyzz y yEk x t k x tEEEEE E Ew a a b w a a ba b a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 這表明，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)在 yz平面內(nèi)的軌跡是橢圓（二次曲線中只有橢圓離原點(diǎn)距離有限），因而是橢圓偏振。 ? 特殊情況下，可以是線偏振（ a=b或 |ab|=?），偏振方向與 y軸夾角為 ? 也可以是圓偏振（ Ey0=Ez0且 |ab|=? /2 ）。 ? 當(dāng) ab=? /2 時(shí)，例如 a=0 而 b =? /2 ，此時(shí) ? 隨著波沿著 x方向前進(jìn)，相位增加， E矢量做右手旋轉(zhuǎn)。所以是波是右旋的。 波的旋轉(zhuǎn)與偏振 00c o s ( ) , s i n ( )y y z zE E k x t E E k x tww? ? ? ?00a r c t a n ( / )yzEE? 當(dāng) ab=? /2 時(shí)，例如，當(dāng) a=0 而 b =? /2 時(shí)： ? 隨著波沿著 x方向前進(jìn)， E矢量按左手旋轉(zhuǎn)。所以這時(shí)波是左旋的。 ? 一般情況下，不妨取 |ab|≤?， 當(dāng)ab 0時(shí)，是右旋；而 ab0 時(shí)，是左旋； ab =0或 ?時(shí)，是線偏振。 波的旋轉(zhuǎn)與偏振 00c o s ( ) ,s in ( )yyzzE E k x tE E k x tww??? ? ?x y z ? 將等離子體中的擾動(dòng)作 Fourior分解，也即化為多個(gè)平面波的線性疊加。如果方程組是線性的，對(duì)于所有滿足方程組的平面波來(lái)說(shuō)，其線性疊加也滿足方程組。因此，從研究最簡(jiǎn)單的平面波入手，我們就可以研究擾動(dòng)在等離子體中的傳播和發(fā)展。方程組中的非線性項(xiàng)應(yīng)該被忽略，這是由方程的線性特性所決定的。另外，非線性項(xiàng)都是二階或二階以上的小量，在解線性波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，可以忽略。 波的線性化和平面波分解 ()( , ) ( , ) itkt e d dwy y w w??? ? kxx k k? 一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于等離子體中的波動(dòng)來(lái)說(shuō)，其頻率和波長(zhǎng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蛘哒f(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，只有對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的波動(dòng)才能存在。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系即為波的色散關(guān)系： ? 波的群速度的計(jì)算需要用到波的色散關(guān)系： ? 更重要的是有了色散關(guān)系，就知道了初始的擾動(dòng) 在隨后的發(fā)展變化： 線性波的色散關(guān)系 ( , ) 0D w ?k()g dvkdk w?( ( ) )01( ) ( ) , ( , ) ( )2i i tkk e d t e dwy y y y?? ? ? ????? k x k x kk x x x k k0 ()y x? 等離子體中，電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起電荷分離，使得等離子體偏離電中性，從而產(chǎn)生靜電場(chǎng)。在這個(gè)靜電場(chǎng)的作用下，電子會(huì)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，力圖使等離子體恢復(fù)電中性，但是在等離子體恢復(fù)了電中性之后，電子仍然具有一定的動(dòng)能，其運(yùn)動(dòng)又會(huì)使等離子體產(chǎn)生非電中性。我們稱電子的這種振蕩為電子靜電波，也叫 Langmuir波。 這種波維持了等離子體的準(zhǔn)電中性。 電子靜電波 ? 在冷等離子體中，這種波動(dòng)可以用一維方程組描述： ? 將方程組進(jìn)行線性化和平面波分解，得到方程組： 冷等離子體中的電子靜電波 00()0,()( ) ,eeee e en n vtxe n nd v En m n e Ed t x ?????????? ? ??1011 1 00/eeei n ik n vi m v e Eik E e nww?? ? ???? ? ??? ???? 經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)成為： ? 這表明，如果要 ，即波動(dòng)存在，必須有 ? 在電子熱壓力不可忽略的情況下，方程改寫為 ? 這里 ?為多方指數(shù)，而對(duì)于電子做 1維運(yùn)動(dòng)的電子靜電波情況，取 ?=3。而對(duì)于普通電子做 3維運(yùn)動(dòng)的情況，取我們熟知的 ?=5/3。 電子靜電波的頻率 201 201( 1 ) 0eneik Emw???0E?200peenemww ???? ? 2( ) , 0 ,ee e e e epd v d Dn m n e E p nd t x d t D? ??? ?? ? ? ? ??? 方程組經(jīng)過(guò)線性化和平面波分解，成為： ? 得到色散關(guān)系，也即這組方程存在非 0解的條件為： ? 這里 vse是電子的聲波速度。 熱等離子體中的電子靜電波 1010101 0 1 00/// / 0eeeee e ei n ik n vi m v e E ik p nik E e np p n nww??? ? ???? ? ? ??????? ???2 2 2 2 , ep s e s eeTk v vm?w w ?? ? ?? 在 的冷等離子體近似的條件下，回到冷等離子體時(shí)的電子靜電波色散表達(dá)式，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 Langmuir波的群速度為 0，因而是不傳播的局域震蕩。而在熱等離子體中， Langmuir波的群速度與電子熱運(yùn)動(dòng)速度可達(dá)同樣的量級(jí)，類似于電子壓力引起的縱波。 ? 電子靜電波的頻率必須不小于電子等離子體頻率 wpe，通常這是較高的頻率。在這個(gè)頻率下，離子由于其質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，它來(lái)不及響應(yīng)這么高的頻率變化。其運(yùn)動(dòng)可以忽略。 熱電子靜電波的討論 0eT ?? 對(duì)于長(zhǎng)波情況，色散關(guān)系可近似為 ? 其群速度遠(yuǎn)小于電子的熱速度 vthe ： ? 對(duì)于短波情況，當(dāng) 時(shí)， 群速度為 與電子熱速度相當(dāng)，這時(shí)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的波與電子的相互作用，需要用動(dòng)力學(xué)才能加以研究。 熱電子靜電波的討論 223( 1 )2p D ekw w ???3 ( )g D e th e th edv k v vdkw ???1Dek? 2 peww1 .5g thevv? 離子的運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生頻率較低的波動(dòng)。在研究較低頻率的等離子體波動(dòng)時(shí)，需要同時(shí)考慮電子和離子的運(yùn)動(dòng)（其中， a代表等離子體中的所有粒子，即電子和各種離子 ）： 考慮離子成分時(shí)的靜電波 101010 01100()01 1( ) 0n k vn n vntxik pdv pi m v q En m n q Endt xEqn ik E q nxd pnpndt pnaaaa a aaaaaa a aa a a aaaa aaa a?aaaaaww? ??????? ??? ???? ????? ? ? ??? ?? ??????????????? ?? ???? ?? 將以上做過(guò)線性化和平面波分解之后的方程組再進(jìn)行消元化簡(jiǎn)，得到色散方程 ： ? 其中 wpa和 vsa分別是 a類粒子對(duì)應(yīng)的等離子體振蕩頻率和聲速。 ? 由于離子質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，則 ? 因此在高頻時(shí) w≥wpe，色散關(guān)系公式中的求和的各項(xiàng)中，離子項(xiàng)遠(yuǎn)小于電子項(xiàng)，因而可以忽略。只保留電子項(xiàng)，此色散關(guān)系回到電子靜電波的色散關(guān)系式。 考慮離子時(shí)的靜電波色散關(guān)系 2 222 02 2 201 0 , ,p pssn q Tvk v m ma a a aaaa a a aw ?w?w?? ? ? ???pi peww? 考慮低頻情況（為簡(jiǎn)化分析起見(jiàn)，不妨假設(shè)只有一種氫離子成份）。 ? 離子聲波： –對(duì)于低頻長(zhǎng)波， k?De≤1，色散關(guān)系公式中的電子項(xiàng)和離子項(xiàng)均遠(yuǎn)大于 1（因?yàn)樗鼈兊姆帜妇芙咏?），因此可以忽略第一項(xiàng)（常數(shù) 1），得到離子聲波色散關(guān)系： 離子聲波 , e e i issiTTk v vm??w ???? 這很像在普通氣體中傳播的聲波。由于波長(zhǎng)很長(zhǎng)，在這種長(zhǎng)尺度條件下等離子體可以很好地保持電中性，因此引起的擾動(dòng)類似于中性氣體中產(chǎn)生的壓縮波。但由于離子和電子必須保持電中性，當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)時(shí)，電子必須跟隨，兩者牢牢地結(jié)合在一起。這時(shí)電子的壓力影響也通過(guò)這種結(jié)合傳遞給離子，即使離子溫度為0，因?yàn)橛须娮訅毫Φ拇嬖冢部梢援a(chǎn)生離子聲波。事實(shí)上，在以后的動(dòng)力論中我們知道，如果離子熱運(yùn)動(dòng)速度與離子聲波的速度相當(dāng)?shù)臅r(shí)候，會(huì)產(chǎn)生阻尼現(xiàn)象，離子聲波不能存在，因此離子聲波大多在 TiTe的情況下存在。 離子聲波的討論 ? 計(jì)算熱等離子體中，電子朗繆爾波的相速度和群速度各是多少？ ? 推導(dǎo)有電子、氫離子、氦離子組成的非磁化熱等離子體中的靜電波色散關(guān)系，各成分的溫度均為 T，數(shù)密度分別為 ne， np， na。 思考題 第 7次課 ? 對(duì)于低頻短波， k?De≥1 ，在色散關(guān)系公式中，電子項(xiàng)遠(yuǎn)小于 1（分母很大），可以忽略。這時(shí)得到離子靜電波的色散關(guān)系 ? 由于在短波情況下，電子熱壓強(qiáng)的存在，使得電子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)速度很大，不能很好地去屏蔽電荷分離引起的靜電場(chǎng)，從而引起電荷分離，并引起離子的靜電振蕩。 離子靜電波 2 2 2 2p i s ikvww??? 對(duì)于非磁化等離子體靜電波，具有色散關(guān)系： ? 波動(dòng)是由于靜電荷非電中性而產(chǎn)生的靜電場(chǎng)引起，電場(chǎng)方向平行于波的傳播方向（波矢方向）。等離子體的熱效應(yīng)產(chǎn)生的壓力也促使擾動(dòng)的帶電粒子向其平衡位置做回復(fù)運(yùn)動(dòng)。 ? 高頻時(shí)，電子起主要作用，產(chǎn)生電子靜電波。 ? 低頻時(shí)，長(zhǎng)波波段能產(chǎn)生離子聲波，短波波