【正文】 第四章 靜態(tài)場的解析法 唯一性定理 鏡像法 格林函數(shù)法 分離變量法 解析法 分布型： 已知某一種分布求另一種分布 邊值型：已知邊值求分布 已知邊值 (局部點 )求分布 (全部 ) 解能唯一嗎？ ？ 中國地質(zhì)大學(xué) 唯一性定理 邊值分類 1類： ?φ ?n Γ 2類： 3類： 及 Γ φ Γ1 φ ?φ ?n Γ2 (Γ= Γ1 +Γ2) 定義 ： 滿足給定邊值 ( 3類中任意一類 )的拉普拉斯 方程 (或泊松方程 )的解是唯一的。 意義： ① 表明，靜態(tài)場中只要空間中的源和邊界一定， 那么，空間的場也就被唯一的確定。 ②為 求解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)。 這意味著，我們可繞開對復(fù)雜問題下的泊松方程的求解， 而采用一些簡單的方法，如：猜測、等效 … 的方法。 從數(shù)學(xué)上看，不同的命題會有相同的方程和邊值，因此 它們會有相同的解，但該解對每命題來說都是唯一的。 中國地質(zhì)大學(xué) 唯一性定理 ∵ φ1 、 φ2都是方程： ▽ 2φ=－ ρv /e 的解，那么： 即有： Γ φ ?φ ?n Γ 證明： 反證法，采用第 1類邊值 設(shè)：場有兩個解 φ1 、 φ2 ， 令： φ = φ2 － φ1 ▽ 2φ1=－ ρv/e及 ▽ 2φ2=－ ρv/e ▽ 2φ =▽ 2φ2－ ▽ 2φ1=0 同樣， φ φ2若都是方程的解，那么也都應(yīng)滿足 邊值 ： Γ φ Γ φ Γ φ1 = Γ φ Γ φ2 = 及 Γ φ Γ φ1 = — =0 Γ φ Γ φ2 由格林第一恒等式： ∫(φ ▽ 2φ+▽ φ▽ φ)dV=∮ φ ds 將 =0 及 ▽ 2φ =0 代入上式： ∫▽ φ dV =0 2 ∵ ▽ φ ＞ 0 ∴ 上式若成立，則必有 ▽ φ =0， 即 :φ=常數(shù) ∵ 該 φ=常數(shù)是整個域中的解，當(dāng)然也包括邊值，即： φ=常數(shù) = =0 即： φ = φ2 － φ1 = 0 故 ： φ2 = φ1 Γ φ 中國地質(zhì)大學(xué) 鏡像法 鏡像法 平面鏡像法 柱面鏡像法 球面鏡像法 鏡像法是一種等效的方法，解決是導(dǎo)體或介質(zhì) 在靜電場中被感應(yīng)后的場的分布問題。 而場源僅限于點或線電荷 xq? 中國地質(zhì)大學(xué) 一、平面鏡像法 中國地質(zhì)大學(xué) 二、球面鏡像法 中國地質(zhì)大學(xué) 三、柱面鏡像法 中國地質(zhì)大學(xué) 四、介質(zhì)面鏡像法 * xzhq ( , , )P x y zR1e2e問題： 點電荷位于兩種電介質(zhì)分界面上方 h，求空間電位分布。 分析： 在介質(zhì)分界面上將存在極化電荷，空間電位由 極化電荷 和 電荷 q共同產(chǎn)生。 中國地質(zhì)大學(xué) 解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。 xzhq ( , , )P x y zR1e2e解決問題過程： 設(shè)媒質(zhì) 1中電位函數(shù)為 ， 媒質(zhì) 2中電位函數(shù)為 。 1?2?建立 求解方程。鏡像電荷 位于 z0區(qū)域中，整個空間充滿媒質(zhì) 1。 1? xzhq ( , , )P x y zR1e 39。q1e39。R39。q則媒質(zhì) 1內(nèi) P點電位為： 11139。( , , ) ( )439。qqx y zRR??e??2 2 2 2 2 21139。( ) ( 0 )4 ( ) ( )qq zx y z h x y z h?e? ? ?? ? ? ? ? ?中國地質(zhì)大學(xué) 建立 求解方程。鏡像電荷 位于 z0區(qū)域中，整個空間充滿媒質(zhì) 2。 位置與 q重合。 2? xzhq ( , , )P x y zR2e39。39。q2e39。39。q39。39。q221 39。39。( , , ) ( )4qqx y zR??e??2 2 221 39。39。 ( 0 )4 ()qq zx y z h?e?? ? ?? ? ?在 z=0面上應(yīng)用電位邊界條件 1200121200zzzzzz????ee???????? ???????1239。 39。39。39。 39。39。q q q qq q q qee?????? ?? ? ? ??中國地質(zhì)大學(xué) 1212121239。 ( 139。39。 39。 (qqq q qeeeeeeee????????? ? ? ? ?? ??計 算 媒 質(zhì) 中 電 位 )計 算 媒 質(zhì) 2 中 電 位 )上式即在點電荷在介質(zhì)分界面上鏡像電荷電量。 說明：若為真空與介質(zhì)分界面，則將對應(yīng)介質(zhì)介電常數(shù)代換為 即可。 0e五、例題 例題一 例題二 中國地質(zhì)大學(xué) 鏡像法小結(jié) ? 鏡像法基本思路 ：在 所研究的場 域外 的某些適當(dāng) 位置，用一些 虛擬電荷等效替代 導(dǎo)體分界面上的 感應(yīng)電荷 或媒質(zhì)分界面上的 極化電荷 的影響。 ? 鏡像法理論依據(jù) ：唯一性定理。 ? 鏡像電荷位置選擇原則 ： 鏡像電荷必須位于 求解區(qū)域以 外 的空間 。 鏡像電荷的引入 不能 改變原問題的邊界條件 。 中國地質(zhì)大學(xué) 鏡像法小結(jié) x q( ρl ) mq O D O a a a=360o/n ； n=2,4,6… 當(dāng)： 0≤ φ≤a 時 = R mq O D R d mh q O′ O′ h 當(dāng)： r′ ≥R 時 = ρl O D R O′ q R=mh/(m1) 。 R2=Dd DmR 。 m＞ 1 ρl mh mh O D R d mh ρl O′ h 當(dāng)： ρ′ ≥R 時 = ρl R=mh/(m1) 。 R2=Dd DmR 。 m＞ 1 平面 球面 柱面 1d2ddR2=d1d2 ρl ρl q( ρl ) 中國地質(zhì)大學(xué) 格林函數(shù)法 v 中國地質(zhì)大學(xué) 格林函數(shù)法就是一個積分公式 : φ(r) — V中任一場點的電位 ρ(r′) — V中源點的電荷密度 G(r′,r) — 格林函數(shù) ∫v…dv ′ — 討論 (所求 )的空間域 G(r′,r) ； ?G(r′,r)/?n′ — 格林函數(shù)的邊值 φ(r′) ； ?φ(r′)/?n′ — 已知的邊值條件 ∮ s…ds ′ — 所討論空間的邊界面 定義 ： s 可見，格林函數(shù)法就是利用邊值 [φ(r′) 及 ?φ(r′)/?n′ ] 通過積分求出有源或無源空間的位函數(shù)。 φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮ s[G(r′,r) ?φ(r′)/?n′ _ φ(r′) ?G(r′,r)/?n′ ]ds′ 中國地質(zhì)大學(xué) 什么是格林函數(shù)？ 指：單位源 (即 q=1或 ρl=1)在一定的邊界 (即原命題的邊界 ) 條件下所建立的場的位函數(shù)，用 G表示。 G = φ(當(dāng) q=1或 ρl=1時 ) 以 q=1為例，寫出以下常見情況的 G： 無界空間： G = 1/4πε︱ rr′︱ 接地?zé)o窮大平板導(dǎo)體的半空間： G =[1/︱ rr′︱ － 1/︱ rr′′ ︱ ]/ 4πε 接地球?qū)w的內(nèi)、外空間： G =[m/︱ rr′︱ － 1/︱ rr′′ ︱ ]/ 4πε O q r′ r r′′ mq q O ? P r r′ r′′ 由上可見 格林函數(shù)是一距離函數(shù) ∴ G(r, r′ )= G(r′ , r) 這就是 格林函數(shù) 的對稱性 格林函數(shù)法 原命題： ▽ 2φ(r)=－ ρv (r) /ε 。 φ(r) s及 ?φ(r)/?n s 格林函數(shù)： ▽ 2G(r, r′ )=－ δ (rr′ )/ε 。 G(r, r′ ) s及 ?G(r, r′ ) /?n s 推導(dǎo)： 由格林第二恒等式： ∫[G▽ 2φ (r)φ (r)▽ 2G ]dV=∮ s[G(r,r′) ?φ(r)/?n_ φ(r) ?G(r,r′)/?n]ds 中國地質(zhì)大學(xué) 互換源點與場點的坐標(biāo)且， 由 格林函數(shù)的對稱性，得結(jié)果： 令： ∫[G (r, r′ ) ▽ 2φ (r) － φ (r)▽ 2G (r, r′ )]dV 則： ∫[G▽ 2φ(r)－ φ(r)▽ 2G]dV=∫[Gρv(r)/ε +φ(r) δ(rr′ )/ε]dV =∫[Gρv(r)/ε ]dV+∫[φ(r) δ(rr′ )/ε]dV=∫[Gρv(r)/ε ]dV+φ(r′)/ε φ(r′)=∫vρ(r)G(r,r′)dv+ε∮ s[G(r, r′) ?φ(r)/?n _ φ(r) ?G(r,r′)/?n′]ds φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮ s[G(r′,r) ?φ(r′)/?n′ _ φ(r′) ?G(r′,r)/?n′ ]ds′ 整理： 格林函數(shù)法的應(yīng)用 技巧： 中國地質(zhì)大學(xué) φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮ s[G(r′,r) ?φ(r′)/?n′ _ φ(r′) ?G(r′,r)/?n′ ]ds′ 若已知：第 2類邊值 ?φ(r)/?n｜ s 則：取 ?G(r,r′)/?n｜ s = 0 因而有： φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮ s[G(r′,r) ?φ(r′)/?n′ ]ds′ 此時， 對 格林函數(shù) 來說，要求解的是如下問題： 若已知：第 1類邊值 φ(r)s 則：取 G｜ s = 0 因而有： φ(r)=∫vρ