【正文】 高考數(shù)學(xué)專題復(fù) （第2輪 難點突破）圓錐曲線專題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練——常用性質(zhì)歸納、解題方法探尋、典型例題剖析、高考真題演練【高考命題特點】圓錐曲線是歷年高考的重點內(nèi)容，常作為高考數(shù)學(xué)卷的壓軸題。1. 從命題形式上看，以解答題為主，難度較大。2. 從命題內(nèi)容上看，主要考查求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求動點的軌跡方程、根據(jù)方程求最值、求參數(shù)的取值范圍、證明定點、定值、探索存在性等。3. 從能力要求上看，主要考查數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、分類討論等）的運用能力。分析問題和解決問題的能力及運算能力。一、圓錐曲線的常用性質(zhì)1. 關(guān)于橢圓的補充性質(zhì)（常在解題中遇到）：① 經(jīng)過焦點或的橢圓的弦，當(dāng)軸時，最短，且 ② 過焦點的直線交橢圓于P、Q兩點，點M是軸上一定點，則當(dāng)軸時，的面積最大。 ③ 設(shè)右（左）準(zhǔn)線與軸交于點E，過E點的直線與橢圓交于P,，Q兩點，點與點P關(guān)于軸對稱，則直線一定過橢圓的右（左）焦點F。一般地，設(shè)P、Q是橢圓上兩動點，直線PQ交軸于點，點與點P關(guān)于軸對稱，直線交軸于點，則為定值。④ 設(shè)點P是橢圓右（左）準(zhǔn)線上任一點（不在軸上），是橢圓的左、右頂點，直線, 與橢圓分別交于兩點，則直線一定過橢圓的右（左）焦點。 反之，過橢圓右（左）焦點F的直線交橢圓于兩點，則直線的交點P在橢圓的右（左）準(zhǔn)線上。 ⑤ 設(shè)是橢圓的左、右頂點，是橢圓的上、下頂點，P是橢圓上異于頂點的任一點，則為定值。 一般地，設(shè)過橢圓中心的直線交橢圓于M、N兩點，P是橢圓上異于M、N的任一點，則為定值。⑥ 存在以坐標(biāo)原點為圓心的圓，使得圓的任一切線與橢圓交于P, Q兩點，滿足，且圓的方程為；反之，若，則點到直線PQ的距離為定值. 當(dāng)時，|PQ|取得最大值；當(dāng)或軸時，|PQ|取得最小值。.⑦ 設(shè)ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形，則矩形ABCD的最大面積為.⑧已知點P在橢圓上，設(shè)，則焦點三角形的面積。 2. 雙曲線的補充性質(zhì)（在解雙曲線問題時常遇到）：① 平行于漸近線（斜率為）的任一條直線與雙曲線有唯一交點.②若斜率為k的直線與雙曲線的兩支各交于一點，則，若直線只與雙曲線的同一支相交于兩點，則。（在的前提下，反之也成立）.③雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離的乘積為定值..④ 當(dāng)焦點弦軸時，是同一支上所有焦點弦中的最短者。⑤在焦點三角形中，設(shè)，則焦點三角形的面積⑥設(shè)P是雙曲線右（左）支上任一點，則的內(nèi)切圓與x軸的切點為雙曲線的右（左）頂點。⑦雙曲線和稱為共軛雙曲線共軛雙曲線的性質(zhì)：⑴漸近線相同 ； ⑵ 3. 拋物線的常用性質(zhì)（常在解題中遇到）：（1）拋物線的焦點性質(zhì)：已知拋物線：，過焦點的直線交于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)直線的傾斜角為，則： ① ，.② .③ ，當(dāng)時，的最小值為。④ .⑤ 三點共線；三點共線。⑥ 以為直徑的圓與直線相切。⑦ 以為直徑的圓過焦點。（2）拋物線的補充性質(zhì)： ⑴ 設(shè)A、B是拋物線上兩動點，且滿足，（O為坐標(biāo)原點），則直線AB經(jīng)過軸上的定點。反之，也成立。⑵ 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點E，過E點的直線交拋物線于A,B兩點，是點A關(guān)于軸的對稱點，則直線過拋物線的焦點F.⑶ 過軸上的定點的直線與拋物線) 交于兩點，則 （定值）。⑷（拋物線的切線） 設(shè) 是拋物線上兩動點，分別過A、B兩點作拋物線的切線相交于點，則有： ① 切線的方程分別為：。 ② 切線的交點坐標(biāo)為：， 即 。 ③ 直線AB的斜率為： 。 ④ 若直線AB與軸交于點，則。二、圓錐曲線常見題型及解題思路方法。1. 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 先判斷焦點的位置，設(shè)出相應(yīng)圓錐曲線的方程，再根據(jù)已知條件和圓錐曲線的性質(zhì)列方程（組）（如求橢圓方程，就是根據(jù)條件和性質(zhì)列出關(guān)于a、b、c的方程組），求出待定參數(shù)。在解方程（組）求a，b時，要注意考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種方程的形式，對于復(fù)雜的方程（組），常常是觀察——猜想——驗證，得出a，b的值。 2. 求橢圓（或雙曲線）的離心率或離心率的取值范圍 求離心率就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)，尋找a、b、c之間的等量關(guān)系，求出的值。在橢圓中，有：；在雙曲線中，有：。能求出，也就求得了離心率。在雙曲線中，還要注意漸近線與離心率的關(guān)系。 求離心率的取值范圍就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)尋找a、b、c之間的不等關(guān)系。關(guān)于不等式的來源，通常是依據(jù)已知不等式，同時還要注意圓錐曲線中 幾個常用的不等關(guān)系：①圓錐曲線上點的坐標(biāo)的范圍；②在橢圓中，有，（其中B為短軸的端點，P為橢圓上任一點）；③在雙曲線中，有（其中F為焦點，P為雙曲線上任一點，A是同一支雙曲線的頂點）。 解這類問題時，要盡可能地結(jié)合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思考問題。如果涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標(biāo)法找關(guān)系。3. 在圓錐曲線中判斷點與圓的位置關(guān)系除常規(guī)方法外（比較點到圓心的距離與半徑的大?。?，通常用向量法。例如，已知直線與圓錐曲線交于A、B兩點，要判斷點P與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，只需確定的大小，通過計算，確定其符號。4. 證明定點，定值，定直線問題可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對定點，定值，定直線進(jìn)行探求，然后證明當(dāng)參數(shù)變化時，結(jié)論成立。證明直線過定點，有兩種思路：①求出滿足條件的動直線方程（只含一個參數(shù)），再根據(jù)方程求出定點；② 先探求定點，再設(shè)出要證明的定點的坐標(biāo)（如設(shè)動直線與x軸交于點），把坐標(biāo)表示出來，表示式中，往往會含有（或 ），用所求得的結(jié)果代入，就可得出坐標(biāo)為定值。證明定點、定值、定直線問題，還可利用圓錐曲線中定點、定值、定直線的性質(zhì)，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。5. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題這類問題是平面解析幾何中的重點問題，常涉及直線和圓錐曲線交點的判斷，弦長，面積，對稱，共線等問題處理問題的基本方法有兩種：（1）聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設(shè)交點，再設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程構(gòu)成方程組，消元，求，（或 ），令（如果直線經(jīng)過曲線內(nèi)的點，可以省去這一步），再根據(jù)問題的要求或求距離，或求弦長，或求點的坐標(biāo)，或求面積等。（2）點差法：設(shè)交點為及AB的中點，將A、B兩點的坐標(biāo)代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：，即，再由題設(shè)條件，求中點坐標(biāo)，根據(jù)問題的條件和要求列式。值得注意的是，用聯(lián)立方程法，設(shè)直線方程時，為簡化運算，可采用這種的策略，若直線過軸上的定點，則直線方程可設(shè)為（此直線不包括軸），聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的方程，求出備用。有時，還要根據(jù)，求出。若直線過軸上的定點，則直線方程可設(shè)為（此直線不包括軸），聯(lián)立方程，消去y。對于直線，無特殊交代時，通常注意分兩種情況：①直線的斜率存在，消元后，注意；②直線的斜率不存在，即直線為。在涉及到弦的中點及斜率時，求參數(shù)（如直線的斜率k）的取值范圍，通常采用點差法。6. 最值問題這類問題是從動態(tài)角度研究解析幾何中的有關(guān)問題，往往涉及求弦長（或距離）、面積、坐標(biāo)（或截距）、向量的模（或數(shù)量積）、參數(shù)等的最大（?。┲怠Ｆ浣夥ㄊ牵涸O(shè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)。處理的方法有：（1）利用基本不等式；（2）考察函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用導(dǎo)數(shù)法；（4）利用判別式法。在目標(biāo)函數(shù)的變形上有一定的技巧，關(guān)于弦長，面積表達(dá)式的變形，常用到移入根號，分離常數(shù)，換元等方法，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。求坐標(biāo)的最值時，可構(gòu)造一個一元二次方程，利用。7. 求參數(shù)的取值范圍問題這類問題主要是根據(jù)條件建立關(guān)于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)于某個變量的函數(shù)，通過解不等式或求函數(shù)的值域來求參數(shù)的取值范圍。具體解法如下：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系。（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍。不等式的來源常有以下途徑：①已知不等式（含基本不等式）；②直線與圓錐曲線相交時，有 ；③點與圓錐曲線（以橢圓最為多見）的位置關(guān)系；④圓錐曲線（特別是橢圓）上點的坐標(biāo)的范圍。（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，用一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。 （4）利用基本不等式：基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思。（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：① 通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標(biāo)；② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題。（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式D179。0。8. 求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程是解析幾何中兩類基本問題之一，即根據(jù)動點所滿足的條件，求動點的坐標(biāo)之間的關(guān)系式。最基本的方法是直接法，步驟是：建系設(shè)點條件立式坐標(biāo)代換化簡方程查漏除雜。此外還有定義法（主要是利用圓錐曲線的定義），相關(guān)點法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、圓的軌跡問題時，常從幾何角度去探求動點滿足的關(guān)系，選用幾何法；如果題目沒有直接給出動點所滿足的條件，而是給出了與動點相關(guān)