neeaaa113三個正數(shù)的算術--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(已修改)
2025-08-05 13:58 本頁面
【正文】 [讀教材 填要點 ] 1 ． 三個正數(shù)的算術 — 幾何平均不等式 如果 a ， b ， c ∈ R ＋ ，那么a ＋ b ＋ c3≥ ，當且僅當 時，等號成立． 2 ． n 個正數(shù) a1， a2， ? ， an的算術 — 幾何平均不等式 對于 n 個正數(shù) a1， a2， ? ， an，它們的算術平均 它們的幾何平均，即 a1＋ a2＋ ? ＋ ann≥ 當且僅當 時，等號成立． a＝ b ＝ c 不小于 n a1 ? a n a1＝ a2＝ … ＝ an 3 abc [小問題 大思維 ] 1 ．滿足不等式a ＋ b ＋ c3≥3abc 成立的 a ， b ， c 的范圍是什么？ 提示： a， b， c的范圍為 a≥ 0， b≥ 0， c≥ 0. 2．應用三個正數(shù)的算術 —幾何平均不等式，求最值應注意 什么？ 提示： 三個正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值．當且僅當三個正數(shù)相等時取得． [例 1] 已知 x∈ R＋ ，求函數(shù) y＝ x(1－ x2)的最大值． [ 精講詳析 ] 本題考查三個正數(shù)的算術 — 幾何平均不等式在求最值中的應用．解答本題要根據(jù)需要拼湊出利用其算術 — 幾何平均不等式的條件，然后再求解． ∵ y ＝ x (1 － x2) ， ∴ y2＝ x2(1 － x2)2＝ 2 x2(1 － x2)(1 － x2)12. ∵ 2 x2＋ (1 － x2) ＋ (1 － x2) ＝ 2 ， [研一題 ] ∴ y2≤12(2 x2＋ 1 － x2＋ 1 － x23)3＝427. 當且僅當 2 x2＝ 1 － x2＝ 1 － x2，即 x ＝33時取 “ ＝ ” 號． ∴ y ≤2 39. ∴ y 的最大值為2 39. [悟一法 ] (1)利用三個正數(shù)的算術 —幾何平均不等
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