天津大學場論初步課件(已修改)
2025-08-03 03:43 本頁面
【正文】 場 論 初 步 等值面與梯度 矢量場的散度 矢量場的旋度 Hamilton算子 第八節(jié) 第十章 復習場的概念 函數(shù) (物理量的分布 ) 數(shù)量場 (數(shù)值函數(shù) ) 場 向量場 (矢量函數(shù) ) 可微函數(shù) )(Pf 梯度場 )(g r a d Pf( 數(shù)量場 ) 如 : 溫度場 , 電位場等 如 : 力場 ,速度場等 (向量場 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 物理量 數(shù)量（標量） 矢量（向量） 等值線、等值面與梯度 面上的在曲線 x o yCz yxfz????? ),(CyxfL ?),(:* 稱為函數(shù) f 的 等值線 . ,),( yxfz ?對函數(shù)投影 oyx )(321 ccc ??設(shè)1cf ?2cf ?3cf ?P的 法向量 為 yx ff 39。,39。設(shè)不同時為零，則 L*上點 P 處 Pyx ff )39。,39。( Pfg ra d?函數(shù)在一點的梯度垂直于該點 等 值線， 指向函數(shù)增大的方向 . 例：函數(shù) 222 zyxu ???的等值面 czyx ??? 222表示以坐標原點為心的一簇同心圓。 只有一個等值面。 等值面是彼此不相交的。 等值線、等值面與梯度 空間區(qū)域 Ω 中的 函數(shù)（數(shù)量場） 稱為該數(shù)量場的 等 值面。 等溫面、等壓面都是等值面。 在 Ω 中有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則曲面 每過一個點 c， 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 等值線、等值面與梯度 過等值面 上任意一點 ),(0000 zyxM的法矢量為 0}39。,39。,39。{ Mzyx fffn ??0),(gr a d Mzyxf?數(shù)量場 在一點處的梯度就是過 該點的等值面的法線方向，而且由數(shù)值較低的等值 面指向數(shù)值較高的等值面。 等值線、等值面與梯度 ? 例如，某物體 Ω上任一點 M(x,y,z)處的溫度為 u(x,y,z)，即 Ω 是一個 溫度場 。若 物體 Ω中各點處的溫度不均勻，有些點處溫度高，有些點處溫度低，則 Ω 中有熱流動。 ? 在某點 P處沿哪個方向流動得最快？ ? 熱沿梯度方向，也就是沿過點 P的等溫面的法線方向，流動得最快。 ? 因為熱由溫度高處流向溫度低處，而梯度方向是由數(shù)值較小的等值面指向數(shù)值較大的等值面。 ? 所以熱沿 grad u(P) 方向流動得最快。 通量與散度 引例 . 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為 1, 速
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