第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分(已修改)
2025-08-01 20:27 本頁面
【正文】 第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分 一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì) 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功 已知一質(zhì)點(diǎn)在 xOy面內(nèi)從點(diǎn) A沿光滑曲線 弧 L移動到點(diǎn) B， 在移動過程中，質(zhì)點(diǎn)受 .),(),(),(),(),(),(所作的功沿曲線上連續(xù)，現(xiàn)要計(jì)算變力在，的作用，其中到力LyxFLyxQyxPyxQyxPyxF??ji ??計(jì)算思路 : 當(dāng)分割無窮細(xì)時 (1)用常力代替變力； (2)用有向線段代替有向弧段 . 計(jì)算步驟 : (1)分割 用點(diǎn) 將 L分成 n個小弧段 ， 取其中一個有向小弧段 來分析； ),(,),(),( 111222111 ??? nnn yxMyxMyxM ?ii MM 1?(2)近似代替 用 有向線段 來近似代替 ji )()(1 iiii yxMM ?????, 11 ?? ??? iiiii xxxMM 其中 ,1???? iii yyyiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyQxPWMMFWMMFWMMFLyxQyxPQPFMM???????????????),(),( ),( :),().(,),(),(,),(),(),(:),(1111??????????????????即所作為功來代替沿常力可近似用所作的功沿有向小弧段故變力上連續(xù)在、此時上各點(diǎn)的力來近似代替小弧段的力上任取一點(diǎn)以????ji(3)求和 ? ? ? ?? ??????????? niiiiiiinii yQxPWW11, ????極限取上述和的令個小弧段的最大長度為設(shè) 0, ??? n(4)取極限 ? ? ? ?? ???????? niiiiiii yQxPW10, lim ?????W即為變力沿曲線所作的功 . 定義 個有向小弧段：分成把插入一點(diǎn)列的方向任意上沿在上有界在、函數(shù)，的一條有向光滑曲線弧到面內(nèi)從點(diǎn)為設(shè)nLyxMyxMyxMLLLyxQyxPBAx OyLnnn ),(,),(),(,),(),( 111222111 ????? ?的上對坐標(biāo)在有向曲線弧為函數(shù)總存在，則稱此的時，小弧段長度的最大值意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各上任為點(diǎn)設(shè)，xLyxPxPMMyyyxxxBMAMniMMiiiniiiiiiiiiiinii),( ),(0),(,2,1 111101???????????????????????極限 極限 曲線積分 為函總存在，則稱此類似地，如果記作iiiniyQ ????),(lim。 10??? ),( ，即記為的上對坐標(biāo)在有向曲線弧數(shù) yLyxQiniiiLiniiiLyQyyxQxPxyxP????????????1010),(li
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