第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析(已修改)
2025-08-01 19:46 本頁面
【正文】 第二章第 1講 1 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微分方程的經(jīng)典解法 零輸入響應(yīng) 沖激響應(yīng) 卷積積分與零狀態(tài)響應(yīng) 第二章第 1講 2 167。 1 微分算子及其特性 ? 定義 dtdp ? ????t dp ?)(1dtdxpx ?nnndtxdxp ?則： ????t x d txp1對(duì)于算子方程： xpypp )3()52( 2 ????xdtdxydtdydt yd 35222????其含義是： 第二章第 1講 3 微分算子的主要特性 ? 微分算子不是代數(shù)方程，而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘，而是一種變換。 ? Ｐ多項(xiàng)式的算子可以像代數(shù)量那樣進(jìn)行乘法運(yùn)算，也可以像代數(shù)式那樣進(jìn)行因式分解的運(yùn)算。 ? 算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。 如： ypNap apx )()( ? ?? ypNx )(1?但： 但在某種情況下公共因子可以消去，如： xxpDpD ???????)(1)( )(])([)(1 txxpDpD ???但 簡單的如： xxpp ?1 但 xCxpxp ???1第二章第 1講 4 微分算子的主要特性 ? 轉(zhuǎn)移算子： H(p)把激勵(lì)和響應(yīng)聯(lián)系起來，故它可以完整地描述系統(tǒng)。即： 若： ，則 )()()()( tepNtrpD ?)()()()()(pDpNtetrpH ??)()()( tepHtr ??)(pH)(te )(tr? 系統(tǒng)的自然頻率 (特征根 )： 0)( ?pD 的根為系統(tǒng)的自然頻率或特征根。 ? 算子阻抗： 對(duì)電感： dtidLu LL ? LL iLpu ??Lp —— 算子阻抗 對(duì)電容： CtCC ipCdtiCu111 ??? ??? —— 算子阻抗 Cp1引入了算子阻抗后，網(wǎng)絡(luò)的微分方程 可以通過電路分析課程的分析方法列 出。如網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、疊加定理、 戴維南定理等。 第二章第 1講 5 例 1 列出電路的微分方程，變量為 i2。 L L??)(te? ?MC CRR1i 2i解：網(wǎng)孔方程為： )()1( 21 teiMpiCpLpR ????0)1( 21 ???? iCpLpRiMp2222)1()(110)(1pMCpLpRtepMCpLpRMpMpCpLpRMpteCpLpRi????????????2223422312)2(2)()(CpCRpCLRR LppMLtepM???????? 故，微分方程為： 33222222232342422 )(12)2(2)(dttedMiCdtidCRdtidCLRdtidRLdtidML ????????第二章第 1講 6 例 2 求如圖所示電路的轉(zhuǎn)移算子： 解： 用 節(jié)點(diǎn) 方程 可 求得 ： )(tf1i 2i??0u?3 F1?1H1)()()( 0tftupH ?1u)(1)131( 01 tfupup ???0)11(1 01 ????? uppup)()131( 01 tpfuup ???021 )1( uppu ???)()1)(311( 002 tpfuuppp ??????44313131311)()()(23220??????????? pppppppptftupH第二章第 1講 7 167。 2 微分方程的經(jīng)典解法 ? 全響應(yīng)＝齊次解 (自由響應(yīng) )＋特解 (強(qiáng)迫響應(yīng) ) ? 齊次解： 寫出特征方程，求出特征根（自然頻率或固有頻率）。根據(jù)特征根的特點(diǎn)，齊次解有不同的形式。一般形式（無重根）： ? 特解： 根據(jù)輸入信號(hào)的形式有對(duì)應(yīng)特解的形式，用待定系數(shù)法確定。在輸入信號(hào)為直流和正弦信號(hào)時(shí)，特解就是穩(wěn)態(tài)解。 ? 用初始值確定積分常數(shù)。 一般情況下， n 階方程有 n 個(gè)常數(shù)，可用個(gè) n 初始值確定。 ???nitih ieCtr1)( ? i? 為特征根 第二章第 1講 8 例 1 描述某線性非時(shí)變系統(tǒng)的方程為 )(2)()(2)(3)( tftftytyty ????????試求：當(dāng) 時(shí)的全解 。 1)0(,1)0(,)( 2 ???? yyttf解： (1)求齊次解，特征根為： 2,121 ???? ?? tth eCeCty 221)( ?? ???(2)求特解：設(shè)特解為： 0122)( PtPtPty p ???將 上式 代入原微分方程，得： 20122122 22)(2)2(32 ttPtPtPPtPP ???????ttPPPtPPtP 22)232()62(2 22102122 ???????即： 比較系數(shù)可得： 22 2 ?P262 21 ?? PP0232 210 ??? PPP解 之 ： 12 ?P21 ??P20 ?P22)( 2 ???? ttty p22)()()( 2221 ??????? ?? tteCeCtytyty ttph全 解的通解為： 將初始條件代入上式，得： 12)0( 21 ???? CCy122)0( 21 ?????? CCy11 ?C22 ??C自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) 0222)( 22 ?????? ?? ttteety tt故，全解為： 第二章第 1講 9 全響應(yīng) =零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng) ? 零輸入響應(yīng)的求法與齊次解一樣 ???nitizi ieCtr1)( ?i?為特征根 iC由初始值確定 ? 零狀態(tài)響應(yīng)的求法與求非齊次方程一樣 )()(1treCtr pnjtjzsj ?? ???齊次解＋特解＝j(luò)?為特征根 jC由零狀態(tài)初始值確定 第二章第 1講 10 例 2 描述某線性非時(shí)變系統(tǒng)的方程為 )(2)()(2)(3)( tftftytyty ????????試求：當(dāng) 時(shí)的 零輸入響應(yīng) 和零狀態(tài)響應(yīng) 。 1)0(,1)0(,)( 2 ???? yyttf解： (1)零輸入響應(yīng) ，特征根為： 2,121 ???? ??ttzi eCeCty 221)( ?? ???(2)零狀態(tài)響應(yīng) ： 特 解求法同例 1， 22)( 2 ???? ttty p22)()()( 2221 ??????? ?? tteCeCtytyty ttphzs將初始條件代入上式，得： 02)0( 21 ???? CCy022)0( 21 ?????? CCy21 ??C02 ?C????????1212121CCCC代入初始值，得 ??????2321CC解 得 023)( 2 ???? ?? teety ttzi0222)( 2 ??????? ? tttety tzs第二章第 1講 11 ? 齊次微分方程： D(p)r(t)=0， 特征方程： D(p)=0 tnttzi neCeCeCtr ??? ???? ??21 21)(0)()( ?? trp k?tkkzi etCtCCtr ?)()( 1110 ?????? ??零輸入響應(yīng)的一般形式 ? 設(shè)系統(tǒng)為 )()( )()()()( tepD pNtepHtr ??零輸入 e(t)=0 時(shí)，即 D(p)r(t)=0 ? 若無重根： ? 若有 K階重根，即： 第二
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