【正文】 會議籌備優(yōu)化模型 班級：數(shù)教1404班小組：第十五組 成員：李若楠 12 孫夢格 26 姚婷婷 37會議籌備優(yōu)化模型摘要本文針對某一具體的會議籌備問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)手段，從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等角度建立了相關(guān)優(yōu)化模型，并利用Lingo軟件求解，給出了會議期間賓館客房預(yù)訂、會議室租借、客車租用等相關(guān)籌備方案。首先，預(yù)測本屆與會人數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù)。根據(jù)前幾屆會議代表回執(zhí)及與會情況，采用多種預(yù)測模型，分別對本屆會議相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測并作了比對分析，在綜合考慮預(yù)測誤差及預(yù)測余量的情況下，得到本屆會議與會人數(shù)預(yù)測值，結(jié)合附表數(shù)據(jù)可以計(jì)算出其他相關(guān)數(shù)據(jù)。其次，制定賓館及客房選定方案。根據(jù)題意，除了盡量滿足代表在價(jià)位等方面的需求外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近。為了從數(shù)量上反映選定的各賓館聚集程度，我們定義聚集指標(biāo)(越小表示選定的個(gè)賓館聚集程度越高)?？紤]到多目標(biāo)優(yōu)化問題的復(fù)雜性，我們首先分別對最小聚集指數(shù)和最少賓館數(shù)目這兩個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題進(jìn)行求解，在得到各自最優(yōu)解的后，以最少賓館數(shù)目為優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮選定賓館之間的距離因素(將聚集指數(shù)小于某設(shè)定值作為約束條件)，得到最少賓館數(shù)目及相對最小聚集指標(biāo)優(yōu)化模型，最終決定將與會代表安排在賓館①②⑤⑦⑧，此解同時(shí)滿足聚集指數(shù)最小和賓館數(shù)目最少兩項(xiàng)要求，且從附圖上看，結(jié)果比較合理。最后，制定會議室選定及客車租用方案。我們假定各代表參加各分組會議的概率是平均的、隨機(jī)的，即每位代表參加任一分會場的概率為1/6。我們以租借會議室和客車的費(fèi)用之和最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化模型。下表為本屆會議分組會議會議室租用方案：規(guī)模間數(shù)價(jià)格（半天）費(fèi)用（全天）②130人21000元4000元⑦140人2800元3200元⑧130人2 800元3200元下表為本屆會議客車租用方案：45座36座33座載客量出發(fā)代表數(shù)量費(fèi)用（全天）①2111591575800②3011681626000⑤1021111104000⑦01169692600⑧10045451600關(guān)鍵字：數(shù)據(jù)預(yù)測 聚集指數(shù) 多目標(biāo)優(yōu)化一、問題重述某市的一家會議服務(wù)公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆會議全國性會議，會議籌備組要為與會代表預(yù)訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。由于預(yù)計(jì)會議規(guī)模龐大，而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿。為了便于管理，除了盡量滿足代表在價(jià)位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近。 籌備組經(jīng)過實(shí)地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號①至⑩表示，相對位置見附圖，有關(guān)客房及會議室的規(guī)格、間數(shù)、價(jià)格等數(shù)據(jù)見附表1。根據(jù)這屆會議代表回執(zhí)整理出來的有關(guān)住房的信息見附表2。從以往幾屆會議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會，同時(shí)也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，相關(guān)數(shù)據(jù)見附表3。附表2，3都可以作為預(yù)訂賓館客房的參考。需要說明的是，雖然客房房費(fèi)由與會代表自付，但是如果預(yù)訂客房的數(shù)量大于實(shí)際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費(fèi)，而若出現(xiàn)預(yù)訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動的局面，引起代表的不滿。會議期間有一天的上下午各安排6個(gè)分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個(gè)賓館租借會議室。由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個(gè)分組會，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表?，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元。 請你們通過數(shù)學(xué)建模方法，從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等方面，為會議籌備組制定一個(gè)預(yù)訂賓館客房、租借會議室、租用客車的合理方案。二、模型假設(shè)1）未發(fā)回執(zhí)而與會的代表的住房要求可以按發(fā)來回執(zhí)的代表的住房要求同比例計(jì)算；2）發(fā)來回執(zhí)并與會的代表的住房要求可以按發(fā)來回執(zhí)的代表的住房要求同比例計(jì)算；3）給獨(dú)住要求的代表安排單人間或單獨(dú)安排一個(gè)雙人間，其滿意度相同；4）各代表參加各分組會議的概率是平均的、隨機(jī)的；5）客車運(yùn)行規(guī)則假設(shè)：1. 為了體現(xiàn)對與會代表的平等尊重，規(guī)定租用的客車從各賓館同時(shí)出發(fā)，然后將代表送至各分會場；；；，到達(dá)指定分會場后，代表自行下車，客車前往下一分會場，直至代表全部下車；三、符號說明： 第屆會議發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量；： 第屆會議發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量；： 第屆會議未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)；： 第屆會議實(shí)際與會人數(shù)；： 第屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量的比值；： 前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量平均比值；： 前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量最大比值；：本屆會議實(shí)際與會人數(shù)平均預(yù)測值；：本屆會議實(shí)際與會人數(shù)最大比例預(yù)測值；： 本屆會議預(yù)計(jì)與會人數(shù)；： 第家賓館選擇與否情況，表示選擇，表示不選擇；： 表示與會代表回執(zhí)的住房要求中的6種客房類型（按題目中附表2中提及的住房類型順序編號）；： 表示在第家賓館預(yù)訂第類住房數(shù)量；： 表示獨(dú)住客房不夠時(shí)在第家賓館預(yù)訂的供第類住房要求的與會代表住宿的第類住房數(shù)量；：表示第家賓館的第類住房數(shù)量上限；： 表示以第⑦家賓館為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下，第家賓館橫坐標(biāo)坐標(biāo)；： 表示以第⑦家賓館為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下，第家賓館縱坐標(biāo)坐標(biāo)；： 表示以第⑦家賓館為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下，第家賓館與第家賓館之間的直線距離；： 選定的個(gè)賓館的聚集指標(biāo)；： 賓館選定優(yōu)化模型中聚集指標(biāo)下限值；： 各分會場最小規(guī)模；四、問題分析根據(jù)題意可知，本屆會議實(shí)際與會人數(shù)的確定是解決其它問題的基礎(chǔ)，因此，我們應(yīng)該首先對前幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立本屆會議實(shí)際與會人數(shù)的預(yù)測模型，并對建立的模型是否合理進(jìn)行分析和評價(jià)。同時(shí)，由于預(yù)測的實(shí)際與會人數(shù)和預(yù)定客房數(shù)量密切相關(guān)，而預(yù)訂客房數(shù)量又與空房費(fèi)用和代表滿意度之間有直接的聯(lián)系，所以在進(jìn)行本屆會議實(shí)際與會人數(shù)的預(yù)測時(shí)，我們還應(yīng)該考慮空房費(fèi)用和代表滿意度之間的關(guān)系，并建立相關(guān)的優(yōu)化模型，進(jìn)而通過對預(yù)測模型的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，確定出本屆會議實(shí)際與會人數(shù)的最優(yōu)值。從給出的10家賓館中選出預(yù)定賓館時(shí)，除了滿足與會代表在客房類型和客房數(shù)量上的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近。要滿足選擇的賓館數(shù)量盡可能地小，我們可以建立（01）規(guī)劃模型，通過相關(guān)的約束條件，確定出在此條件下應(yīng)當(dāng)選擇哪些賓館。而要使得我們選擇的賓館在距離上比較接近，我們可以定義并計(jì)算出所選定賓館的聚集程度，以此作為評價(jià)依據(jù)。根據(jù)題目的要求，我們可以建立一個(gè)既滿足預(yù)定賓館數(shù)量最少，又滿足預(yù)定賓館聚集程度相對較高的雙優(yōu)化模型，從而確定出同時(shí)滿足兩者要求的客房預(yù)訂方案。對于會議室的租借問題，下榻的賓館有不同規(guī)格的不同價(jià)位的會議室，而代表參加各分組會議的概率是平均的、隨機(jī)的。對于客車的租用問題，不同的客車的客容量和價(jià)位均不相同，其類型和數(shù)量與我們需要運(yùn)送的代表的人數(shù)及位置有關(guān)。兩者對主辦方的費(fèi)用均有影響，相互之間也有聯(lián)系，因此，在確定租借會議室和租用客車的方案時(shí)，將它們分開考慮并不合適。我們可以將租借會議室的費(fèi)用和租車的費(fèi)用同時(shí)歸入總費(fèi)用中，建立兩者總費(fèi)用最小的優(yōu)化模型。這樣，既保證了會議室的數(shù)目和規(guī)格的符合要求，又解決了客車的租用問題。五、模型建立與求解 數(shù)據(jù)分析圖1 歷屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量關(guān)系圖2 歷屆會議未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量關(guān)系圖3 歷屆會議發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量關(guān)系表 1 各賓館各種類型客房數(shù)量合住1合住2合住3獨(dú)住1獨(dú)住2獨(dú)住3①0503003020②85650000③502402700④50450000⑤70400000⑥0403040300⑦500040030⑧404000450⑨00600060⑩00100000表 2 本屆會議發(fā)來回執(zhí)的代表有關(guān)住房要求比例情況合住1合住2合住3獨(dú)住1獨(dú)住2獨(dú)住3男女表3 以往幾屆會議代表回執(zhí)及與會相關(guān)情況第一屆會議 第二屆會議 第三屆會議 第四屆會議 第五屆會議發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量315356408711755發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量89115121213未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量576975104實(shí)際與會人數(shù)283310362602 數(shù)據(jù)預(yù)測為了進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，首先應(yīng)根據(jù)前幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況，對本屆會議相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。下面我們就本屆會議預(yù)計(jì)與會人數(shù)采用不同方法分別建立模型進(jìn)行預(yù)測。1)擬合預(yù)測模型從圖1可以看到，歷屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量關(guān)系大致符合線性關(guān)系，使用Matlab中cftool[1]工具進(jìn)行一次擬合得到如下結(jié)果（附錄1）： （1）將第五屆會議發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量：代入（1）式有：。圖4實(shí)際與會人數(shù)擬合及預(yù)測情況繪圖結(jié)果分析：從圖4中可以看出，預(yù)測的本屆會議與會人數(shù)（）比較合理。2)灰色預(yù)測[2] [3]模型使用前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)[283 310 362 602]作為初始數(shù)據(jù)，建立模型（附錄2），并進(jìn)行精度檢驗(yàn)，得到如下結(jié)果：平均相對誤差：drt =x0與x0p的灰色關(guān)聯(lián)度:epsh =均方差比值C:C =小誤差概率:P = 1預(yù)測序列x0p:x0p = 將上述檢驗(yàn)指標(biāo)與灰色預(yù)測精度檢驗(yàn)等級參照表（附錄3）對照可知，該灰色系統(tǒng)模型各項(xiàng)精度均為一級，說明可以利用上述模型進(jìn)行預(yù)測，使用Matlab將前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)同預(yù)測與會人數(shù)繪制如下：圖5前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)與灰色預(yù)測模型的預(yù)測序列比對從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，灰色預(yù)測模型并沒有很好的反映實(shí)際與會情況，特別是預(yù)測序列中的第2屆會議數(shù)據(jù)較往屆還有所下降，不合理，故此模型不予采用。3)比例預(yù)測模型根據(jù)題目中的附表3可以計(jì)算出往屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量比例關(guān)系，見表3，并可進(jìn)一步得到前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量的平均比值。據(jù)此可計(jì)算出本屆會議實(shí)際與會人數(shù)平均預(yù)測值。另一方面，前四屆會議實(shí)際與會人數(shù)與發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量最大比值，進(jìn)而有本屆會議實(shí)際與會人數(shù)最大比例預(yù)測值。圖6往屆會議實(shí)際與會人數(shù)情況與本屆會議按比例預(yù)測情況從圖6中可以看出，無論是按平均比例預(yù)測還是按最大比例預(yù)測，本屆會議與會人數(shù)預(yù)測值都比較合理。 幾種預(yù)測模型分析1）由于本題中參與擬合的數(shù)據(jù)過少，不適合采用高次擬合，但使用一次線性擬合時(shí)SSE（）及RMSE（）值過大（使用二次擬合時(shí)前述指標(biāo)仍然很大），說明線性擬合誤差較大，故不采用擬合預(yù)測模型。2）從圖5很容易看出，灰色預(yù)測模型預(yù)測不理想，不予采用。3