【正文】 1 前 言 論文的背景在太陽(yáng)系內(nèi)的天體都可以近似看做球形，并且與他們之間的距離相比，他們的的大小就可以忽略不計(jì)，因而他們能被看做質(zhì)點(diǎn)。因此，可以用現(xiàn)代動(dòng)力天文學(xué)的基礎(chǔ)理論來(lái)研究這個(gè)問題。這部分的天體力學(xué)以牛頓的萬(wàn)有引力理論開始。從1687年的《數(shù)學(xué)原理》出版之時(shí)開始，證實(shí)牛頓的理論是否能夠獨(dú)立的提供一個(gè)完整的關(guān)于天體如何在太空中運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)是非常重要的。沿著這個(gè)思路進(jìn)行研究，我們需要根據(jù)牛頓的萬(wàn)有引力定律來(lái)確定彼此吸引的n體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 牛頓曾經(jīng)用幾何學(xué)原理解決了只存在相互引力作用的兩個(gè)球的運(yùn)動(dòng)這一兩體問題。在1710年，JohannBernoulli證明，在兩體問題中，一個(gè)粒子相對(duì)于另外一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)可以被描述為一個(gè)圓錐曲線。在1734年，DanielBernoulli因?yàn)樗P(guān)于分析處理兩體問題的研究獲得了法國(guó)科學(xué)院獎(jiǎng)。在1744年，這個(gè)問題被Euler完全的解決了。同時(shí)對(duì)多維問題的研究也已經(jīng)在進(jìn)行中。在需要關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)知識(shí)的驅(qū)動(dòng)下，研究人員研究了太陽(yáng)，地球和月亮構(gòu)成的三體系統(tǒng)，并且月球理論很快就成為了早期研究的問題。在經(jīng)典力學(xué)，量子力學(xué)和天文學(xué)中，三體問題是一個(gè)出名的，還沒有解決的問題，它被Whittaker描述為在所有動(dòng)力學(xué)問題中最出名的問題，Hilbert認(rèn)為它是一個(gè)完美數(shù)學(xué)問題的標(biāo)準(zhǔn)。天體物理中的三體問題可以簡(jiǎn)單的被描述為：三個(gè)天體在他們之間的相互之間的萬(wàn)有引力作用下，給出各個(gè)天體的初始條件，包括三個(gè)天體的質(zhì)量、初始位置和初始速度，確定它們的后續(xù)運(yùn)動(dòng)，包括位置和速度隨時(shí)間的變化。像許多數(shù)學(xué)問題一樣，簡(jiǎn)單的問題聲明后面往往覆蓋了問題解決方法的復(fù)雜性。雖然一體和兩體的問題能夠以封閉的形式通過(guò)初等函數(shù)方式來(lái)解決，但是三體問題是一個(gè)復(fù)雜的線性問題，沒有相似的解決方法存在。探究三體問題的方式大抵能夠分為三類：第一類是分析方法，其基本原理是把天體的坐標(biāo)和速度展開為時(shí)間或其它小參數(shù)的級(jí)數(shù)形式的近似解析表達(dá)式，討論天體的坐標(biāo)和軌道要素隨時(shí)間的變化規(guī)律；第二類是定性方法，選用微分方程的定性理論來(lái)研究很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)三體運(yùn)動(dòng)的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律和全局性質(zhì)；第三類是數(shù)值方法，這是直接依據(jù)微分方程的計(jì)算方式得出天體在特定時(shí)刻的詳細(xì)位置和速度。這三類方法各有利弊。因?yàn)榍蠼馊w問題的困難在于它的不確定性和不可預(yù)測(cè)性，可以考慮計(jì)算機(jī)在迭代計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)，選擇第三類方法，基于受力分析和經(jīng)典力學(xué)，求其數(shù)值解。 論文相關(guān)的國(guó)內(nèi)外動(dòng)態(tài)及研究?jī)r(jià)值從三體問題被提出的300年間，人們只發(fā)現(xiàn)3族周期性特解。在十八和十九世紀(jì)，幾乎所有著名的數(shù)學(xué)家們都曾試圖解決這個(gè)問題，但是問題的進(jìn)展不大。截止到目前為止，三體問題特解的族數(shù)被擴(kuò)充到了16族。與此同時(shí)，在失敗的嘗試中，微分方程的理論不斷地發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一門更成熟的分支。作為一個(gè)能被簡(jiǎn)單描述的問題，除了其內(nèi)在的吸引力，三體問題與太陽(yáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性有著密切的聯(lián)系，這使得對(duì)三體系統(tǒng)的研究成為潛在的解決太陽(yáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的解決方案。多年來(lái)，人們對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了大量的研究，從1750年到20世紀(jì)初，關(guān)于這個(gè)問題有800多篇援引了許多杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家成果的論文發(fā)表。因此，除了解決一個(gè)重要的難題，更重要的是在解決問題的過(guò)程當(dāng)中產(chǎn)生了好幾種嶄新的數(shù)學(xué)思想。這些數(shù)學(xué)理論的進(jìn)步已經(jīng)深入到不同的領(lǐng)域，包括近代動(dòng)力學(xué)問題的理論。三體問題的研究加深了人們對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，激勵(lì)了天體力學(xué)和數(shù)學(xué)物理的進(jìn)一步成長(zhǎng)，尤其是對(duì)人們研究太空火箭軌道和雙星演變很有幫助。 本文的研究?jī)?nèi)容本文決定通過(guò)計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算，利用經(jīng)典力學(xué)中的牛頓三大定律和萬(wàn)有引力定律迭代求解天體運(yùn)動(dòng)中的三體問題。同時(shí)，本文利用MATLAB的GUI功能，設(shè)計(jì)出簡(jiǎn)潔友好的界面，并且通過(guò)動(dòng)畫的方法將天體的位置和速度在空間直角坐標(biāo)系上實(shí)時(shí)的表示出來(lái)，作出了天體物理實(shí)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)模擬來(lái)進(jìn)行的嘗試。 本文的創(chuàng)新之處首先：通過(guò)理論與實(shí)踐相結(jié)合的方式生動(dòng)的展示了原本靜態(tài)的文字概念。其次：通過(guò)MATLAB的GUI界面，可以讓用戶在不必了解程序內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的情況下，給出三個(gè)天體的初始條件，包括三個(gè)天體的質(zhì)量、初始位置和初始速度，就可以知道隨著時(shí)間的推移其宏觀的位置和速度以及運(yùn)動(dòng)的宏觀規(guī)律和全局性質(zhì)。同時(shí)，還可以在不同的觀察角度了解它們的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。2 模型假設(shè)1) 忽略相對(duì)論效應(yīng)的影響；2) 不考慮其它天體對(duì)系統(tǒng)的作用，所處宇宙空間是各向同性的；3) 忽略宇宙空間粒子、潮汐力的影響；4) 假設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒有能量損失；5) 將天體視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)的過(guò)程中彼此之間的相互碰撞；3 模型建立 具體時(shí)刻的狀態(tài)因?yàn)槿齻€(gè)天體的位置和速度是隨時(shí)間變化的，現(xiàn)在取很短的時(shí)間間隔t，假定這段時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)參數(shù)沒有變化，則可以考慮從系統(tǒng)每一時(shí)刻的狀態(tài)計(jì)算后下一時(shí)刻的狀態(tài)。在每一時(shí)刻，每一個(gè)天體都有各自的位置與速度，三個(gè)天體總共有六個(gè)未知量，每?jī)蓚€(gè)天體之間應(yīng)用萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律可以列出兩個(gè)方程，總共六個(gè)方程，這六個(gè)方程組成的方程組足可以求解這六個(gè)未知量。如果分割的時(shí)間間隔無(wú)限小，則可以求出精確解，但是在現(xiàn)實(shí)中這是沒法完成的。因此，我們可以將時(shí)間分成許多小部分，用計(jì)算機(jī)迭代求解，得到隨時(shí)間變化的系統(tǒng)的各個(gè)參量和系統(tǒng)的末狀態(tài)。 受力分析如圖31所示，每個(gè)天體都受到其他兩個(gè)天體的萬(wàn)有引力作用。為方便計(jì)算，將天體1對(duì)天體2的作用，天體2對(duì)天體3的作用，天體3對(duì)天體1的作用分別按直角坐標(biāo)系分解為f12x，f12y，f12z，f23x，f23y，f23z，f31x，f31y，f31z。由于f12=f21，f23=f32，f31=f13，可以用式子右邊等效表示左邊。在萬(wàn)有引力f1f2f31作用下，天體天體天體3的加速度分別為f12+f31m1，f12f23m2，f23f31m3。圖31 三體問題受力分析 運(yùn)動(dòng)規(guī)律及迭代方程一、 萬(wàn)有引力定律f12=gm1m2x1x22+y1y22+z1z22f23=gm2m3x2x32+y2y32+z2z32f31=gm3m1x3x12+y3y12+z3z12二、 牛頓第二定律a1=f12+f31m1a2=f12f23m2a3=f23f31m3三、 速度迭代p1=p1+a1tp2=p2+a2tp3=p3+a3t四、 位置迭代d1=d1+p1t+12a1t2d2=d2+p2t+12a2t2d3=d3+p3t+12a3t2 求解時(shí)還須將加速度a，速度迭代方程，位置迭代方程按直角坐標(biāo)系分解如附錄1。 用計(jì)算機(jī)編程求解，即可得任意時(shí)刻三個(gè)天體的位置和速度。4 模型求解與系統(tǒng)仿真 編碼與運(yùn)行（1）系統(tǒng)所需的軟、硬件 系統(tǒng)所用的硬件是普通的PC機(jī)。本程序的編碼和界面設(shè)計(jì)部分用MATLAB進(jìn)行開發(fā)。（2）三體問題的編碼1o三個(gè)天體各個(gè)參數(shù)的初始化部分。函數(shù)ThreeBodyProblem_OpeningF(hObject, eventdata, handles, varargin)是該程序的啟動(dòng)函數(shù)。初始化各個(gè)天體參數(shù)的部分已在程序代碼中標(biāo)注：function ThreeBodyProblem_OpeningF(hObject, eventdata, handles, varargin)ThreeBodyProblem的創(chuàng)建函數(shù)，此函數(shù)沒有返回值，詳情請(qǐng)參見OutputFhObject 圖形句柄eventdata 保留在MATLAB里面的參數(shù)，它的作用是方便后面的程序使用handles GUI界面的句柄，可以通過(guò)它獲取整個(gè)界面的信息varargin ThreeBodyProblem 的啟動(dòng)參數(shù)(詳情請(qǐng)參見 VARARGIN)初始化第一個(gè)天體的質(zhì)量，位置和速度 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。初始化第二個(gè)天體的質(zhì)量，位置和速度 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。初始化第三個(gè)天體的質(zhì)量，位置和速度 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = hObject。此前指令更改了handles，必須靠guidata指令才能把更新了的handles加以保存，以供后續(xù)使用guidata(hObject, handles)。默認(rèn)值按鈕的回調(diào)函數(shù)，用于設(shè)置三個(gè)天體的默認(rèn)參數(shù)值，并且將設(shè)置的默認(rèn)參數(shù)值顯示到圖形界面上：function default_Callback(hObject, eventdata, handles)hObject default控件的句柄(詳情請(qǐng)參見 GCBO)eventdata 保留在MATLAB里面的參數(shù)，它的作用是方便后面的程序使用handles GUI界面的句柄，可以通過(guò)它獲取整個(gè)界面的信息（詳情請(qǐng)參見GUIDATA）在圖形界面的第一個(gè)天體的文本輸入框內(nèi)顯示默認(rèn)的輸入值，此輸入值為太陽(yáng)的參數(shù)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。將太陽(yáng)的參數(shù)保存為“GUI數(shù)據(jù)”形式，以便共享 = *10^29。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。 = 0。在圖形界面的第二個(gè)天體的文本輸入框內(nèi)顯示默認(rèn)的輸入值，此輸入值為地球的參數(shù)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,0)。將地球的參數(shù)保存為“GUI數(shù)據(jù)”形式，以便共享 = *10^23。 = *10^10。 = 0。 = 0。 = 0。 = *10^3。 = 0。在圖形界面的第三個(gè)天體的文本輸入框內(nèi)顯示默認(rèn)的輸入值，此輸入值為月球的參數(shù)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,0)。set(,39。String39。,)。set(,39。String39。,0)。 將月球的參數(shù)保存為“GUI數(shù)據(jù)”形式，以便共享 = *10^23。 = *10^10。 = 0。 = 0。 = 0。 = *10^3。 = 0。此前指令更改了handles，必須靠guidata指令才能把更新了的handles加以保存，以供后續(xù)使用guidata(hObject,handles)。2o從文本輸入框中按順序輸入三個(gè)天體的各個(gè)參數(shù)。第一個(gè)天體的各個(gè)文本輸入框的回調(diào)函數(shù)，用于獲得文本輸入框內(nèi)輸入的值，代碼的具體解釋已在程序中給出：function FirstBodyX_Callback(hObject, eventdata, handles)hObject FirstBodyX 控件的句柄(詳情請(qǐng)參見 GCBO)eventdata 保留在MATLAB里面的參數(shù)，它的作用是方便后面的程序使用handles GUI界面的句柄，可以通過(guò)它獲取整個(gè)界面的信息（詳情請(qǐng)參見GUIDATA）獲得當(dāng)前輸入框的輸入字符tempData=get(hObject,39。String39。)。將字符轉(zhuǎn)換為雙精度數(shù)=str2double(tempData)*10^10。此前指令更改了handles，必須靠guidata指令才能把更新了的handles加以保存，以供后續(xù)使用guidata(hObject,handles)。設(shè)置完所有屬性后，在對(duì)象的創(chuàng)建過(guò)程中執(zhí)行以下代碼function FirstBodyX_CreateF(hObject, eventdata, handles)hObject FirstBodyX 控件的句柄(詳情請(qǐng)參見 GCBO)eventdata 保留在MATLAB里面的參數(shù)，它的作用是方便后面的程序使用handles GUI界面的句柄，它會(huì)在調(diào)用完所有的CreateF函數(shù)后創(chuàng)建提示: 可編輯文本框控件通常在窗口上有一個(gè)白色的背景，更多詳情請(qǐng)參見ISPC 和COMPUTER.if ispc amp。amp。 isequal(get(hObject,39。BackgroundColor39。), get(0,39。defaultUicontrolBackgroundColor39。)) set(hObject,39。BackgroundColor39。,39。white39。)。endfunction FirstBodyY_Callback(hObject, eventdata, handles)hObject FirstBodyY控件的句柄(詳情請(qǐng)參見 GCBO)eventdata 保留在MATLAB里面的參數(shù)，它的作用是方便后面的程序使用handles GUI界面的句柄，可以通過(guò)它獲取整個(gè)界面的信息（詳情請(qǐng)參見GUIDATA）獲得當(dāng)前輸入框的輸入字符tempData=get(hObject,39。String39。)。將字符轉(zhuǎn)換為雙精度數(shù)=str2double(tempData)*10^10。此前指令更改了handles，必須靠guidata指令才能把更新了的handles加以保存，以供后續(xù)使用guidata(hObject,handles)。設(shè)置完所有屬性后，在對(duì)象的創(chuàng)建過(guò)程中執(zhí)行以下代碼function FirstBodyY_CreateF(hObject, eventdata, handles)hObject FirstBodyY 控件的句柄(詳情請(qǐng)參見 GCBO)eventdata 保留在MATLAB里面