07典型相關(guān)分析(已修改)
2025-07-07 05:07 本頁面
【正文】 典型相關(guān)分析專題167。 引言典型相關(guān)分析是研究?jī)山M變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，它能夠真正反映兩組變量之間的相互線性依賴關(guān)系。例如，F(xiàn). V. Waugh（1942）研究了美國(guó)1921年至1940年每年牛肉、豬肉的價(jià)格與按人口平均的牛肉和豬肉的消費(fèi)量之間的相互關(guān)系，可歸結(jié)為研究這兩組變量之間的相互依賴關(guān)系。采用典型相關(guān)分析，可由第一組變量構(gòu)造一種價(jià)格指數(shù)，由第二組變量構(gòu)造一種消費(fèi)量指數(shù)，這兩種指數(shù)分別為這兩組變量的典型變量，而后研究這兩種指數(shù)間的相互關(guān)系。又如，在工廠里常常要研究產(chǎn)品的個(gè)質(zhì)量指標(biāo)（）與原材料的個(gè)質(zhì)量指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系，這也是需采用典型相關(guān)分析來解決的問題。一般地，為研究?jī)山M變量和之間的相關(guān)關(guān)系，常采用類似于主成分的思想，找出第一組變量的某個(gè)線性組合，并找出第二組變量的某個(gè)線性組合，于是我們把研究?jī)山M變量之間相關(guān)的問題化為研究?jī)蓚€(gè)變量與之間的相關(guān)問題，希望使與的相關(guān)達(dá)到最大。我們稱這種相關(guān)為典型相關(guān)，基于這種原則的分析方法稱為典型相關(guān)分析。167。 總體典型相關(guān)一、典型相關(guān)的定義及導(dǎo)出設(shè)和是兩組變量，且，，即有其中典型相關(guān)分析研究的是，的線性函數(shù)與的線性函數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，其中和我們先來計(jì)算一下與的相關(guān)系數(shù) （） （）所以，與的相關(guān)系數(shù)為 （）由于對(duì)任意非零常數(shù)和，有因此，為避免不必要的結(jié)果重復(fù)，我們常常限定與均為標(biāo)準(zhǔn)化的變量，即附加約束條件， （）這等價(jià)于約束條件， （）于是，我們的問題歸結(jié)為在約束條件（）式或（）式下，求和，使得 （）達(dá)到最大。令，于是。利用柯西不等式，有記為的秩，則從而，非負(fù)定矩陣有個(gè)正特征值，分別記為，相應(yīng)的單位特征向量分別為，其余個(gè)零特征值的單位特征向量分別為，是正交矩陣。結(jié)論：（特征值；特征向量；）（特征值；特征向量；）（特征值；特征向量）（特征值；特征向量）其中因此，由上述不等式和譜分解定理有若取，則備注：的最大特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，故這里是的正平方根。所以，當(dāng)取，時(shí)，達(dá)到最大值（顯然）。我們稱， （）為第一對(duì)典型相關(guān)變量，稱為第一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)，稱，為第一對(duì)典型系數(shù)。利用和具有相同非零特征值的性質(zhì)，可知都具有相同的非零特征值。令，， （）其中是的正平方根。由于 （）所以 （）即為的相應(yīng)于的正交單位特征向量； （）即為的相應(yīng)于的正交單位特征向量； （）即為的相應(yīng)于的正交單位特征向量。第一對(duì)典型相關(guān)變量提取了原始變量與之間相關(guān)的主要部分，如果這一部分還顯得不夠，可以在剩余相關(guān)中再求出第二對(duì)典型相關(guān)變量，也就是應(yīng)滿足，且應(yīng)使得第二對(duì)
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