文檔lc無阻尼受迫(交流)振蕩電路(已修改)
2025-07-06 23:11 本頁面
【正文】 我們已經(jīng)知道，將帶電電容C與電感L串聯(lián)，無電阻、無電源，電路接通后會(huì)產(chǎn)生正弦交變電流（參見《LC無阻尼自由振蕩電路》 ）?，F(xiàn)在要說的是，如果電路中還有個(gè)正弦交變電源，而電容初始時(shí)不帶電，又會(huì)怎樣呢？由基爾霍夫定律，得uL+uC=e=Emsin(ωt+φ)（注：Em是電動(dòng)勢(shì)最大值，ω為電動(dòng)勢(shì)圓頻率，φ為初相位）根據(jù)電感上電壓、電流間的微分關(guān)系，有uL=L*di/dt則得到uC=euL=Emsin(ωt+φ)L*di/dtduC=d[Emsin(ωt+φ)L*di/dt]=Emωcos(ωt+φ)*dtL*d2i/dt根據(jù)電容上電流、電壓間的微分關(guān)系，有i=C*duC/dt則i=C*[Emωcos(ωt+φ)*dtL*d2i/dt]/dti=EmCωcos(ωt+φ)LC*d2i/dt2LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。相對(duì)有些難解。為解此微分方程，須介紹兩個(gè)定理：定理一 一個(gè)二階線性非齊次微分方程的通解，等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上原方程的一個(gè)特解。（為避免與電流混淆，虛數(shù)單位用j表示）定理二若y=y1+y2j是二階線性非齊次微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)+T(x)j的解，則y1是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)的一個(gè)解，y2是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=T(x)的一個(gè)解。根據(jù)定理一，先解它對(duì)應(yīng)的齊次方程。它對(duì)應(yīng)的齊次方程為：LC*d2i/dt2+i=0用特征方程法，其特征方程為：LCx2+1=0解得x1=(1/LC)1/2j,x2=(1/LC)1/2j則齊次方程對(duì)應(yīng)的通解為：（為避免與電容混淆，積分變量用A39。、B39。表示）i=A39。e(1/LC)^(1/2)jt+B39。e(1/LC)^(1/2)jt由歐拉公式ejx=jsinx+cosx得i=A39。{jsin[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}+B39。{jsin[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}i=A39。jsin[(1/LC)1/2t]+A39。cos[(1/LC)1/2t]B39。jsin[(1/LC)1/2t]+B39。cos[(1/LC)1/2t]i=(
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