微分幾何曲面doc(已修改)
2025-07-06 23:00 本頁面
【正文】 167。 曲面及其相關(guān)概念1. 曲面及其參數(shù)表示曲面的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程:. 曲面的向量形式的參數(shù)方程:, . 簡(jiǎn)記為, .稱為曲面的參數(shù)或曲紋坐標(biāo)．也稱是點(diǎn)的參數(shù)或曲紋坐標(biāo). 例1 (1) 圓柱面cos，sin，z = z,. 其中常數(shù)為截圓的半徑． 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (2) 球面coscos，cossin，sin，. 這里, 稱為經(jīng)度，稱為緯度. 是球面的半徑． 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (3) 旋轉(zhuǎn)面把xz平面上一條曲線：x =，繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)面:x =，y =，． 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (4) 連續(xù)函數(shù)的圖象該曲面的參數(shù)方程為. 和是參數(shù)(曲紋坐標(biāo)). 是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 坐標(biāo)曲線曲線：, 即. 曲線：, 即. 一般地, 通過每一點(diǎn), 有唯一一條曲線和唯一一條曲線. 曲紋坐標(biāo)網(wǎng)例2 （1）圓柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: coscos，cossin，sin. (3) 旋轉(zhuǎn)面（例1（3））: x =，y =，．(4) 連續(xù)函數(shù)的圖象（例1（4））2. 光滑曲面 曲面的切平面和法線在曲面上的(,)點(diǎn)處, u曲線的切向量, v曲線的切向量．定義 曲面的正則點(diǎn)(正常點(diǎn)) P0(,): r(,)和r(,)不平行. 正則曲面: 處處是正則點(diǎn)的曲面. 例 在雙葉雙曲面的一葉(、和均為正的常數(shù), , )上, 經(jīng)過點(diǎn)的曲線的方程為, 該曲線在點(diǎn)的切向量。經(jīng)過點(diǎn)的曲線的方程為, 該曲線在點(diǎn)的切向量. 由于在上的任何點(diǎn)處, 和不平行, 故上的點(diǎn)都是正則點(diǎn), 從而是正則曲面. 曲面在正則點(diǎn)的鄰域中總可以有形如z = z(x, y)的參數(shù)表示．曲面Σ上一點(diǎn)P0處的切方向(方向): Σ上的經(jīng)過P的曲線Γ在P0的切方向. 曲面：r = r(u, v)上曲線Γ的(曲紋)坐標(biāo)式參數(shù)方程Γ: u = u(t)，v = v(t).Γ的向量式參數(shù)方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向(t) = r+ r.也可寫為dr = ru du + rv dv. 曲面上正則點(diǎn)處的所有切向量都在經(jīng)過該點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量r和r所決定的平面上．稱此平面為曲面在這一點(diǎn)的切平面．曲面上一點(diǎn)的一個(gè)切方向的表示: du:dv表方向dr = ru du + rv dv, 也表方向 dr = ru du rv dv. 二者視為同一方向. 例如, du:dv = (2):3表方向dr = 2ru + 3rv , 也表方向 dr = 2ru 3rv . 二者視為同一方向. 例 環(huán)面(為常數(shù), )上的點(diǎn)即點(diǎn). 該點(diǎn)處的切方向表示方向曲面：r = r(u, v)上在點(diǎn)(,)的切平面的方程：(m r(,)，r(,)，r(,)) = 0，或?qū)懗勺鴺?biāo)的形式：． 特例 對(duì)曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有r= {1，0，}，r= {0，1，}. 所以曲面在點(diǎn)(,)的切平面的方程為：. 法方向: 垂直于切平面的方向. 法線: 經(jīng)過曲面上的一點(diǎn)并平行于法方向的直線. 法向量: n = rr. 單位法向量: n=．曲面的法線方程:m = r(,) +r(,)r(,). 若曲面的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程為, 則法線方程為特例
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