【正文】 .. . . ..圖形的分割與拼接例題精講本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法：1．理解掌握?qǐng)D形的分割；2．理解掌握?qǐng)D形的拼合；3．理解圖形的剪拼．本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)?dòng)手嘗試．通過(guò)本講知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力．把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形，就叫做圖形的分割．反過(guò)來(lái)，按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)完美的圖形，就叫做圖形的拼合．將一個(gè)或者多個(gè)圖形先分割開(kāi)，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼．我們?cè)趫D形的分割、拼合和剪拼的過(guò)程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點(diǎn)來(lái)思考．如果把一個(gè)圖形分割成若干個(gè)大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對(duì)稱點(diǎn)，把圖形先分少，再分多．圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來(lái)分割圖形．如果是要把幾個(gè)圖形拼合成一個(gè)大圖形，要特別注意每條邊的長(zhǎng)度，把相等的邊長(zhǎng)拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個(gè)關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點(diǎn)，通過(guò)分析推理和必要的計(jì)算，確定剪拼的方法．板塊一 圖形的分割【例 1】 用一條線段把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？【解析】 怎樣把一個(gè)圖形按照規(guī)定的要求分割成若干部分呢？這就是圖形的分割問(wèn)題．按照規(guī)定的要求合理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展空間觀念，豐富想象，提高觀察能力．這道題要求把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，過(guò)長(zhǎng)方形中心的任意一條直線都可以把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，根據(jù)這點(diǎn)給出如下分法(如右圖)：⑴ 做長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線，設(shè)交點(diǎn)為⑵ 過(guò)點(diǎn)任作一條直線，直線將長(zhǎng)方形平均分割成兩塊．可見(jiàn)用線段平分長(zhǎng)方形的分法是無(wú)窮多的．【鞏固】畫一條直線，將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩部分，這樣的直線有 條． 【解析】 無(wú)數(shù)條．任何過(guò)六邊形中心的直線均符合要求．【例 2】 把任意一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)小三角形，有許多種分法．請(qǐng)你畫出4種不同的分法．【解析】 根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個(gè)等底等高的小三角形，它們的面積必定相等．而要得到這4個(gè)等底等高的小三角形，只需把原三角形的某條邊四等分，再將各分點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來(lái)就行了．根據(jù)上面的分析，可得如左下圖所示的三種分法．又因?yàn)椋?，如果我們把每一個(gè)小三角形的面積看做1，那么就可以視為把三角形的面積直接分成4等份，即分成4個(gè)面積為1的小三角形；而可以視為先把原三角形分成兩等份，再把每一份分別分成兩等份．根據(jù)前面的分析，在每次等分時(shí)，都要想辦法找等底等高的三角形． 根據(jù)上面的分析，又可以得到如右下圖的另兩種分法． 【鞏固】把任意一個(gè)三角形分成面積相等的2個(gè)小三角形，有許多種分法．請(qǐng)你畫出3種不同的分法．【解析】 根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成2個(gè)等底等高的小三角形，它們的面積必定相等．而要得到這2個(gè)等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某條邊的中點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來(lái)就行了．根據(jù)上面的分析，可得如圖所示的三種分法．【例 3】 怎樣把一個(gè)等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形．→【解析】 ⑴分成8塊的方法是：先取各邊的中點(diǎn)并把它們連接起來(lái)，得到4個(gè)大小、形狀相同的三角形， 然后再把每一個(gè)三角形分成兩部分，得到如左上圖所示的圖形．⑵分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點(diǎn)彼此連接起來(lái)，得到加上右上圖所示的符合條件的圖形．【例 4】 下圖是一個(gè)直角梯形，請(qǐng)你畫一條線段，把它分成兩個(gè)形狀相同并且面積相等的四邊形． 【解析】 直角梯形的上底為1，下底為2，要分成兩個(gè)相同的四邊形，需要一條邊可以分成1和2，邊長(zhǎng)正好為3，所以邊分成兩段，找到的三等分點(diǎn)，現(xiàn)在，，所以還要找到的中點(diǎn)，連接，就把梯形分成完全相同的兩部分．如右上圖．【例 5】 在一塊長(zhǎng)方形的地里有一正方形的水池(如下圖)．試畫一條直線把除開(kāi)水池外的這塊地平分成兩塊．【解析】 用連對(duì)角線的辦法找出這塊長(zhǎng)方形地的中心O和正方形水池的中心A．過(guò)O、A畫一條直線，這條直線正好能把除開(kāi)水池外的這塊地平分為兩塊(如右上圖)．【例 6】 把下圖四等分，要求剪成的每個(gè)小圖形形狀、大小都一樣．除了剪正方形外，你還有別的方法嗎？ 【解析】 先把圖形分成相等的兩塊，每一塊中再分成相等的兩份，這樣就不難分成四塊了，如右上圖．【例 7】 下圖是一個(gè)的方格紙，請(qǐng)用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整．【解析】 分成的兩塊每塊有(個(gè))小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，我們從對(duì)稱線入手，介紹一種分割技巧——染色法，先選中一個(gè)小格，找它關(guān)于中心點(diǎn)或中心線的對(duì)稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號(hào)．當(dāng)找它關(guān)于中心線的對(duì)稱位置時(shí)是一種情況，關(guān)于中心點(diǎn)的對(duì)稱位置是另一種情況，具體如下圖所示．【鞏固】右圖是一個(gè)的方格紙，請(qǐng)用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整．【解析】 因?yàn)橐指畛赏耆嗤膬蓧K，即大小、形狀完全相同．方格紙一共有(個(gè))小格，所以分成的兩塊每塊有(個(gè))小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，大小和形狀完全一樣，應(yīng)用染色法，從中心點(diǎn)的一側(cè)入手染色，逐步推進(jìn)．(建議教師同時(shí)呈現(xiàn)六幅空的格圖，不同的變化在不同的圖上同時(shí)呈現(xiàn))如下圖： 【例 8】 下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的四部分．【解析】 要求把陰影部分分成四個(gè)大小、形狀都相同的四個(gè)圖形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相等，也就是把整個(gè)圖形的面積分成四份，分割后的每一部分占一份．考慮先把陰影部分分成12個(gè)小正方形再分成四份，這樣每份正好有3個(gè)小正方形．再看形狀，三個(gè)小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下圖． 【鞏固】下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的兩部分．如果分三部分呢？ 【解析】 從形狀，面積