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圖形的分割與拼接(已修改)

2025-07-05 20:30 本頁(yè)面
 

【正文】 .. . . ..圖形的分割與拼接例題精講本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法:1.理解掌握?qǐng)D形的分割;2.理解掌握?qǐng)D形的拼合;3.理解圖形的剪拼.本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)?dòng)手嘗試.通過(guò)本講知識(shí)的學(xué)習(xí),讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法,鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形,就叫做圖形的分割.反過(guò)來(lái),按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)完美的圖形,就叫做圖形的拼合.將一個(gè)或者多個(gè)圖形先分割開(kāi),再拼成一種指定的圖形,則叫做圖形的剪拼.我們?cè)趫D形的分割、拼合和剪拼的過(guò)程中,都要結(jié)合所提供的圖形特點(diǎn)來(lái)思考.如果把一個(gè)圖形分割成若干個(gè)大小、形狀相等的部分,那么就要想辦法找圖形的對(duì)稱點(diǎn),把圖形先分少,再分多.圖形中,如果有數(shù)量方面的要求,可以先從數(shù)量入手,找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少,再結(jié)合數(shù)量來(lái)分割圖形.如果是要把幾個(gè)圖形拼合成一個(gè)大圖形,要特別注意每條邊的長(zhǎng)度,把相等的邊長(zhǎng)拼合在一起,先拼少的,再拼多的.如果是剪拼圖形,要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個(gè)關(guān)鍵,根據(jù)已知條件和圖形的特點(diǎn),通過(guò)分析推理和必要的計(jì)算,確定剪拼的方法.板塊一 圖形的分割【例 1】 用一條線段把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分割成兩塊,一共有多少種不同的分割法?【解析】 怎樣把一個(gè)圖形按照規(guī)定的要求分割成若干部分呢?這就是圖形的分割問(wèn)題.按照規(guī)定的要求合理分割圖形,是很講究技巧的,多做這種有趣的訓(xùn)練,可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,發(fā)展空間觀念,豐富想象,提高觀察能力.這道題要求把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊,過(guò)長(zhǎng)方形中心的任意一條直線都可以把長(zhǎng)方形平均分割成兩塊,根據(jù)這點(diǎn)給出如下分法(如右圖):⑴ 做長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線,設(shè)交點(diǎn)為⑵ 過(guò)點(diǎn)任作一條直線,直線將長(zhǎng)方形平均分割成兩塊.可見(jiàn)用線段平分長(zhǎng)方形的分法是無(wú)窮多的.【鞏固】畫一條直線,將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩部分,這樣的直線有 條. 【解析】 無(wú)數(shù)條.任何過(guò)六邊形中心的直線均符合要求.【例 2】 把任意一個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)小三角形,有許多種分法.請(qǐng)你畫出4種不同的分法.【解析】 根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論,只要把原三角形分成4個(gè)等底等高的小三角形,它們的面積必定相等.而要得到這4個(gè)等底等高的小三角形,只需把原三角形的某條邊四等分,再將各分點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來(lái)就行了.根據(jù)上面的分析,可得如左下圖所示的三種分法.又因?yàn)椋?,如果我們把每一個(gè)小三角形的面積看做1,那么就可以視為把三角形的面積直接分成4等份,即分成4個(gè)面積為1的小三角形;而可以視為先把原三角形分成兩等份,再把每一份分別分成兩等份.根據(jù)前面的分析,在每次等分時(shí),都要想辦法找等底等高的三角形. 根據(jù)上面的分析,又可以得到如右下圖的另兩種分法. 【鞏固】把任意一個(gè)三角形分成面積相等的2個(gè)小三角形,有許多種分法.請(qǐng)你畫出3種不同的分法.【解析】 根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論,只要把原三角形分成2個(gè)等底等高的小三角形,它們的面積必定相等.而要得到這2個(gè)等底等高的小三角形,只需找出原三角形的某條邊的中點(diǎn)與這邊相對(duì)的頂點(diǎn)連接起來(lái)就行了.根據(jù)上面的分析,可得如圖所示的三種分法.【例 3】 怎樣把一個(gè)等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.→【解析】 ⑴分成8塊的方法是:先取各邊的中點(diǎn)并把它們連接起來(lái),得到4個(gè)大小、形狀相同的三角形, 然后再把每一個(gè)三角形分成兩部分,得到如左上圖所示的圖形.⑵分成9塊的方法是:先把每邊三等分,然后再把分點(diǎn)彼此連接起來(lái),得到加上右上圖所示的符合條件的圖形.【例 4】 下圖是一個(gè)直角梯形,請(qǐng)你畫一條線段,把它分成兩個(gè)形狀相同并且面積相等的四邊形. 【解析】 直角梯形的上底為1,下底為2,要分成兩個(gè)相同的四邊形,需要一條邊可以分成1和2,邊長(zhǎng)正好為3,所以邊分成兩段,找到的三等分點(diǎn),現(xiàn)在,,所以還要找到的中點(diǎn),連接,就把梯形分成完全相同的兩部分.如右上圖.【例 5】 在一塊長(zhǎng)方形的地里有一正方形的水池(如下圖).試畫一條直線把除開(kāi)水池外的這塊地平分成兩塊.【解析】 用連對(duì)角線的辦法找出這塊長(zhǎng)方形地的中心O和正方形水池的中心A.過(guò)O、A畫一條直線,這條直線正好能把除開(kāi)水池外的這塊地平分為兩塊(如右上圖).【例 6】 把下圖四等分,要求剪成的每個(gè)小圖形形狀、大小都一樣.除了剪正方形外,你還有別的方法嗎? 【解析】 先把圖形分成相等的兩塊,每一塊中再分成相等的兩份,這樣就不難分成四塊了,如右上圖.【例 7】 下圖是一個(gè)的方格紙,請(qǐng)用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分,但要保持每個(gè)小方格的完整.【解析】 分成的兩塊每塊有(個(gè))小格,并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱,大小和形狀完全一樣,我們從對(duì)稱線入手,介紹一種分割技巧——染色法,先選中一個(gè)小格,找它關(guān)于中心點(diǎn)或中心線的對(duì)稱位置,標(biāo)上相應(yīng)的符號(hào).當(dāng)找它關(guān)于中心線的對(duì)稱位置時(shí)是一種情況,關(guān)于中心點(diǎn)的對(duì)稱位置是另一種情況,具體如下圖所示.【鞏固】右圖是一個(gè)的方格紙,請(qǐng)用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分,但要保持每個(gè)小方格的完整.【解析】 因?yàn)橐指畛赏耆嗤膬蓧K,即大小、形狀完全相同.方格紙一共有(個(gè))小格,所以分成的兩塊每塊有(個(gè))小格,并且這兩塊要關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱,大小和形狀完全一樣,應(yīng)用染色法,從中心點(diǎn)的一側(cè)入手染色,逐步推進(jìn).(建議教師同時(shí)呈現(xiàn)六幅空的格圖,不同的變化在不同的圖上同時(shí)呈現(xiàn))如下圖: 【例 8】 下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形,請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的四部分.【解析】 要求把陰影部分分成四個(gè)大小、形狀都相同的四個(gè)圖形,先不考慮形狀,大小相同也就是面積相等,也就是把整個(gè)圖形的面積分成四份,分割后的每一部分占一份.考慮先把陰影部分分成12個(gè)小正方形再分成四份,這樣每份正好有3個(gè)小正方形.再看形狀,三個(gè)小正方形只能排成“-”形或者“∟”形.答案如下圖. 【鞏固】下圖是一個(gè)被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形,請(qǐng)你將它分成大小形狀完全一樣的兩部分.如果分三部分呢? 【解析】 從形狀,面積
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