【正文】 85 / 34第四章 需求理論本章研究消費者個人需求和市場總需求的變化規(guī)律。對于消費者個人需求，主要討論價格和收入的變化對需求的影響，尤其是要討論收入效應(yīng)和替代效應(yīng)問題。對于市場總需求，主要討論三個方面的問題：總需求是否還是價格和收入的函數(shù)？總需求能否揭示一種消費者偏好？總需求有什么社會福利意義？通過對這些問題的研究，總需求的性質(zhì)和變化規(guī)律便可可得到揭示。本章的討論仍在商品空間中進行，即假定市場上共有種可供選擇的商品。第一節(jié) 集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是經(jīng)濟學研究中發(fā)展起來的一套經(jīng)濟分析方法。上一章中討論的預(yù)算集合同價格與收入之間的對應(yīng)關(guān)系，以及需求集合同價格與收入之間的對應(yīng)關(guān)系，都是集值映射的典型事例。所謂集值映射，是指集合與元素(點)之間的某種對應(yīng)關(guān)系，或者說是一種取值為集合的映射。具體來說，設(shè)和是兩個集合，如果對于種的任何一個元素，都有的一個子集與之對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系就稱為從到的集值映射，并記作。為了方便起見，今后我們把集值映射也簡稱作集映。對于這個概念，我們可作兩個方面的理解。首先，通常所說的映射或函數(shù)都是單值映射或單值函數(shù)，即對于自變量的每一種取值，與之對應(yīng)的因變量的值是唯一的；集值映射則實際上是多值映射，即對于自變量的每一種取值，與之對應(yīng)的因變量的值是可能有多個。其次，也可把集值映射這種多值映射看成是一種單值映射，即把看成是的冪集的元素，這樣一來，就變成了從到的單值映射。因此，集值映射也可記作。 圖41 集值映射的圖像集值映射還可看作是乘積集合的子集。具體來講，確定了的一個子集，這個子集稱為集值映射的圖像(如圖41所示)。顯然，不同集映的圖像是不同的。集映確定以后，其圖像也就唯一確定下來。反過來，只要圖像得以確定，集映也就唯一確定了。因此，可把集映與其圖像等同看待。對于集值映射，如果對任何，都有，則稱為對應(yīng)。所以，對應(yīng)是取值為非空集合的集映，也是人們更為感興趣的集值映射。在集值映射下，的子集的像集是指集合：定義．設(shè)與都是拓撲空間，集映叫做：(1) 閉(緊、凸)集值的集映，如果對任何,都是的閉(緊、凸)子集；(2) 在點處上半連續(xù)，如果對于中任何包含的開集，都存在的鄰域使得；(3) 上半連續(xù)的集映，如果對任何, 都在處上半連續(xù)；(4) 在點處下半連續(xù)，如果對中任何與相交的開集，都存在的鄰域使得；(5) 下半連續(xù)的集映，如果對任何, 都在處下半連續(xù)；(6) 在點處連續(xù)，如果在點處既上半連續(xù)，又下半連續(xù)；(7) 連續(xù)的集映，如果對任何, 都在處連續(xù)；(8) 閉集映，如果的圖像是積空間的閉子集；(9) 開集映，如果的圖像是積空間的開子集。集映的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性都是函數(shù)連續(xù)性概念的推廣，上半連續(xù)性說的是不會突然彭脹，下半連續(xù)性說的是不會突然收縮。關(guān)于的集映連續(xù)性，下面三個定理是基本的和重要的。定理1. 設(shè)和都是拓撲空間，且為Hausdorff空間。又設(shè)是閉集值的集映，且包含在的某緊子集當中。則上半連續(xù)的充分必要條件是為閉集映。定理2. 設(shè)是第一可數(shù)空間，是Hausdorff空間，是集映，為某個給定的點，在該點處的值是閉集，且存在的鄰域使得包含在的某緊子集當中。則在處上半連續(xù)的充分必要條件是：對任何及任何序列和，當且時。定理3. 設(shè)和是第一可數(shù)空間，是對應(yīng)，為給定的點。則在處下半連續(xù)的充分必要條件是：對于任何及中任何收斂于的序列，存在中收斂于的序列滿足。推論. 設(shè)和都是拓撲空間，且為Hausdorff空間，為閉集值的閉集映，為某個給定的點。如果存在的鄰域使得包含在的某緊子集當中，則在處上半連續(xù)。這個推論直接從定理1得到，它比定理1可能更為有用。定理2和定理3分別是集值映射的上、下半連續(xù)性的極限形式，因而也是很有用的，為研究集值映射提供了極大的便利。第二節(jié) 需求的連續(xù)性根據(jù)消費最優(yōu)化確定的需求，是由價格因素與收入因素共同決定的。當這兩個因素發(fā)生變化時，需求自然會發(fā)生變化。需求變動的第一個規(guī)律，就是當價格和收入變化不大時，需求也不會發(fā)生很大的變化，即需求是隨價格和收入連續(xù)變動的。預(yù)算的連續(xù)性是需求連續(xù)性的基礎(chǔ)。沒有預(yù)算的連續(xù)性，就很難保證當價格和收入的變化很小時，需求的變化也很小。因此，為了考察需求的變動規(guī)律，需要先來考察消費預(yù)算的變化規(guī)律。命題1. 設(shè)消費集合是商品空間的非空閉子集，則預(yù)算集映是閉對應(yīng)。證明：預(yù)算集映是對應(yīng)，這是明顯的事實。以下來證明是閉集映，即證明的圖像是的閉子集。為此，設(shè)為中的任一序列，且。為了證明是閉集，只需證明(即,也即)。事實上，從立即可知。在此式兩邊取極限即可得到：。故。命題2. 設(shè)消費集合是的下有界非空閉子集，則預(yù)算集映上半連續(xù)。證明：注意，預(yù)算對應(yīng)是閉集值的閉集映。因此，可應(yīng)用上一節(jié)中的推論來證明本命題。為此，設(shè)為任一給定的點。為了說明在點處的上半連續(xù)性，只需要找出的一個鄰域，使得包含在的某個有界閉子集當中。的下有界性告訴我們，存在向量滿足且對一切成立。令則是的鄰域。令，其中定義如下：易見，是的有界閉子集(從而是緊子集)。我們指出：。事實上，對任何及，注意，我們有：由此可知，即，從而。這就證明了。既然任意給出，因此。的上半連續(xù)性得證。命題3. 設(shè)消費集合是的凸子集，則預(yù)算集映下半連續(xù)。證明：任意給定，我們來證明在處下半連續(xù)。注意，和都是第一可數(shù)空間，且是對應(yīng)，因此可應(yīng)用定理3來證明在處的下半連續(xù)性。為此，設(shè)且是中任一收斂于的序列。根據(jù)定理3，我們只需找到中收斂于的序列使得。顯然。我們按照和兩種情形，分別來找這個序列。情形1: 此時，從及可知，存在自然數(shù)使得對一切成立。于是，對任何自然數(shù), 當時，任意取定一點；當時，令。顯然，且。情形2：此時，從知，存在滿足。注意，因此，存在自然數(shù)使得和對一切成立?，F(xiàn)在，對任何的自然數(shù), 當時，任意取定一點；當時，令，其中。容易看出：(1) 對一切成立； (2) ；(3) 當時，且；(4) 當時?？梢姡?。總之，不論是情形1還是情形2，我們都在中找到了某個收斂于的序列使得。于是，在處的下半連續(xù)性得證。既然是任意給定的，因此是上半連續(xù)的集映。命題2和命題3告訴我們：預(yù)算集映的連續(xù)性. 在假設(shè)HC下，預(yù)算集映是連續(xù)對應(yīng)。這就是說，消費集合的非空下有界閉凸性既保證了消費預(yù)算不會隨價格與收入變化而突然彭脹，又保證了消費預(yù)算不會隨價格與收入的變化而突然收縮。二．需求的連續(xù)性現(xiàn)在，我們考察需求的連續(xù)性問題。根據(jù)第三章第四節(jié)關(guān)于馬歇爾需求的討論可知，在連續(xù)的偏好下，需求集映是對應(yīng)。實際上，需求集映還是閉集映，即下面命題所述。命題4. 設(shè)消費集合是商品空間的下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系是連續(xù)的。則需求對應(yīng)是閉集值的閉集映。證明：對于任何，是閉集這一事實是比較容易說明的，其依據(jù)是的閉性和中任何兩個方案之間的誤差異性。下面來證明是閉集映，即證明是的閉子集。為此，設(shè)是中的任一序列，并且收斂于某點。我們來證明，即欲證明，也即要證明且對一切成立。注意，，并且預(yù)算對應(yīng)上半連續(xù)(命題2)。因此。再注意，預(yù)算對應(yīng)還是下半連續(xù)的(命題3)。因此，對于任何的，都存在中的序列滿足且。既然，因此。偏好的連續(xù)性保證了可在此式兩邊取極限，于是。這就說明，即。可見，是的閉子集。命題5(需求集映的連續(xù)性). 設(shè)消費集合是商品空間的下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系是連續(xù)的。則需求對應(yīng)上半連續(xù)。證明：由于命題4，我們可應(yīng)用第一節(jié)中的推論來證明本命題。設(shè)任意給定。我們在證明命題2的時候，曾經(jīng)找到了的一個鄰域使得包含在的某個有界閉子集當中。由于，因此這個鄰域也必然使得包含在的這個有界閉子集當中。既然是閉集值的閉集映，根據(jù)第一節(jié)中的推論便知在處上半連續(xù)。而是任意給定的，于是是上半連續(xù)的集映。命題5得證。從上一章的討論可知，在連續(xù)的嚴格凸偏好假設(shè)下，理性消費者的需求映射得到了良好的定義(well defined)，即對于任何，需求向量是唯一確定的。不僅如此，從命題5可知需求映射(需求函數(shù))還是連續(xù)的(即下面的命題6所述)。因此，只要價格與與收入的變化很小，需求的變化也就很小。命題6(需求映射的連續(xù)性). 在假設(shè)HC和假設(shè)HP下，需求映射是連續(xù)映射。第三節(jié) 需求的可微分性本節(jié)研究需求函數(shù)的可微分變化規(guī)律，即需求的變化率問題。我們的討論將在假設(shè)HC和HP下進行，并且還要使用效用函數(shù)。事實上，需求函數(shù)的可微分性同效用函數(shù)的擬凹性關(guān)系密切，因此本節(jié)要進一步討論效用函數(shù)的性質(zhì)。這里，我們先假定效用函數(shù)服從假設(shè)HU并且嚴格擬凹。在這些假定下，消費者的需求向量由價格和收入唯一確定，這就唯一確定下來了消費者的需求映射。對于。其中的便是商品的需求函數(shù)。對于，效用函數(shù)在處的二階偏導數(shù)矩陣，稱為在處的海森(Hessian)矩陣。在假設(shè)HU之下，海森矩陣是對稱矩陣。今后，為了方便起見， 把在處的梯度記為。一．效用函數(shù)的強擬凹性效用函數(shù)的擬凹性蘊含著海森矩陣具有某種良好性質(zhì)，或者說，任何一點處的無差異曲面必然在該點處的切平面的上方。因此，從切平面上看，切點是效用函數(shù)在切平面上的最大值點，即切點是切平面上效用最大的點。這就是下面命題所述的事實。命題1. 設(shè)消費集合是商品空間的凸子集，效用函數(shù)是擬凹的，在處可微，且。對于任何，(1) 如果，那么；也即，如果，那么；(2) 如果, 那么；也即，如果，那么；(3) 進一步，當效用函數(shù)嚴格擬凹并且時，如果，那么；也即，如果，那么。證明：任意給定。(1) 設(shè)。的擬凹性保證了對一切成立，從而即，這就證明了(1)。(2) 設(shè)。既然，存在的鄰域使得, 從而也存在使得。效用函數(shù)的擬凹性保證了，而的連續(xù)性又保證了存在的鄰域（即以為中心的一個開球）使得且對于任何，都有。顯然，我們可以在中選取一個符合下列條件的點：對每個，當時，；當時。對于這樣選定的點，從可知。既然，從(1)的結(jié)論可知，從而。注意，因此。而，于是。(2)得證。(3) 設(shè)嚴格擬凹，且。令。效用函數(shù)的嚴格擬凹性保證了，于是從(2)的結(jié)論可知。將代入此式即可得到，(3)得證。命題2. 設(shè)消費集合是的凸子集，效用函數(shù)擬凹，在點處二階可微，并且。則對于任何，都有。這里，“”表示矩陣的轉(zhuǎn)置運算，集合是無差異曲面在點處的切平面。證明：設(shè)是命題中給定的點，這意味著存在正實數(shù)滿足，其中是以為中心、為半徑的開球?，F(xiàn)在，設(shè)是切平面上的任一點。如果，那么是明顯的。以下設(shè)。于是，必然存在一個正實數(shù)，使得且。記，并對每個實數(shù)，令。顯然，對于任何，都有成立，從而有成立（因為）。這說明，命題1(2)的條件得到滿足，因此對一切成立。定義函數(shù)如下：。則從上面的討論知，是在上的最大值點，而且在上二階可微。根據(jù)函數(shù)最大值二階必要條件可知，(這是因為，假如，那么便為的極小值，出現(xiàn)矛盾)。計算可知，結(jié)果。命題得證。效用函數(shù)的擬凹性或嚴格擬凹性，都不足以保證需求函數(shù)的可微性。為了用微分法分析消費者需求的變動情況，需要把上述命題中得到的不等式換為嚴格不等式，即提出效用函數(shù)的強擬凹性概念。定義. 設(shè)效用函數(shù)嚴格擬凹，在內(nèi)部二階可微。叫做在點處強擬凹，是指且對任何,，都有。如果在內(nèi)部的每個點處都是強擬凹的，則稱是強擬凹的效用函數(shù)。效用函數(shù)的強擬凹性實際上只與消費者的偏好有關(guān)，而與二階可微效用函數(shù)的具體選擇無關(guān)。事實上，對于等價的效用函數(shù)與來說，從第三章第3節(jié)的討論可知，存在嚴格遞增可微函數(shù)滿足：(1) 對任何,；(2) 對任何,。由此可知，(3) 對任何,。注意，且對于任何。這說明，強擬凹當且僅當強擬凹。即強擬凹性與效用函數(shù)的具體選擇無關(guān)，屬于偏好關(guān)系本身的性質(zhì)。命題3. 設(shè)消費集合是凸集，效用函數(shù)嚴格擬凹且在內(nèi)部二階可微。則在處強擬凹的充分必要條件是：在處的加邊海森矩陣非奇異。這里，所謂效用函數(shù)的加邊海森矩陣，是指：證明：線性代數(shù)理論告訴我們，一個階方陣非奇異的充要條件是：對任何非零的維列向量，都有。下面的證明將應(yīng)用這一事實。設(shè)為命題中給定的點。必要性．我們只需證明：對于任何維向量，如果，那么。為此，設(shè)滿足的任意一個維向量。注意，因此，，從而。進一步。既然強擬凹且，可見只有。將這一結(jié)果代入，可得。由于，因此。這就證明了。的非奇異性得證。充分性．的非奇異性說明，對于任何維向量，如果，那么。對應(yīng)用這一結(jié)論，便可知。對于每個，令。則對于任何的，都有的擬凹性保證