【正文】 第二講 配套習(xí)題及答案： （）其他條件與實例中給出的相同，試分別求分散經(jīng)濟(jì)與計劃經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)解。 計劃者目標(biāo)函數(shù)為： 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以得到無約束的最大化問題： 一階條件為： 求解可得： 代進(jìn)生產(chǎn)函數(shù)可得： 企業(yè)利潤函數(shù)為：企業(yè)利潤最大化的一階條件為： 利用這兩個一階條件可以取得均衡的價格解，為： ：，其中是行為人的消費，是行為人每天用于閑暇的時間。行為人每天的時間除了用于閑暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他為自己工作時的產(chǎn)出函數(shù)為，其中為用于自己工作的時間。如果他為別人工作，每小時得到的報酬是工資，記為（當(dāng)然是用消費品衡量的）。試寫出該行為人的最優(yōu)化問題，并求解之。 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，分別對和兩個變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，有： 求解上述聯(lián)立方程，可得： 。代表性消費者的效用函數(shù)如下： 其中，是消費，是閑暇，且。消費者擁有一單位的時間稟賦和單位的資本。代表性企業(yè)生產(chǎn)消費品的技術(shù)由如下的生產(chǎn)函數(shù)來表示： 其中，是產(chǎn)出，A是全要素生產(chǎn)率，是資本投入，是勞動投入，且。記為市場的實際工資，為資本的租金率。、產(chǎn)出、就業(yè)、實際工資以及資本租金率產(chǎn)生怎樣的影響。解：，分析消費者行為： 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無約束的最大化問題。 對求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：第二步，分析企業(yè)的行為： 根據(jù)市場出清條件，可得如下方程組：求解得：第三步，全部均衡解：或者，考慮計劃經(jīng)濟(jì)情形： 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無約束的最大化問題： 對求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得： 解得： b. 說明：閑暇將隨技術(shù)進(jìn)步而減少，因而就業(yè)將隨技術(shù)進(jìn)步而增加；產(chǎn)出、消費和資本租金率將隨技術(shù)進(jìn)步而上升；實際工資不會隨技術(shù)進(jìn)步的變化而變化。消費者的偏好由如下的效用函數(shù)代表： 這里，是消費；是閑暇；是政府購買；。消費者擁有一單位的時間稟賦。私人消費品的生產(chǎn)技術(shù)如下： 這里，是產(chǎn)出，是勞動投入。假設(shè)政府通過向消費者征收一個總額稅來為自己的購買融資。（1）對于一個給定的，試求均衡時的消費、產(chǎn)出和就業(yè)。證明這些均衡數(shù)量是帕累托最優(yōu)的。（2）試分析當(dāng)政府購買發(fā)生變化時，這些均衡數(shù)量會受到怎樣的影響。平衡預(yù)算乘數(shù)時大于1還是小于1，解釋之。（3）現(xiàn)在假設(shè)政府是一個“仁慈”的政府，它將選擇一個最優(yōu)的。也就是說，政府將選擇一個合適的去最大化代表性行為人的福利。試求解最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量。解：（1）在給定時，消費者的最優(yōu)規(guī)劃問題可以表述如下： 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題： 該最大化問題的一階條件為： 利用這一一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數(shù)： 利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費者的時間約束和預(yù)算約束，我們可以進(jìn)一步求得消費者的勞動供給和消費需求函數(shù)： ， 可以注意到，閑暇和消費都是都是隨總額稅的增加而減少的，這確保在我們假設(shè)的效用函數(shù)下，這兩種商品都是正常商品。也可以注意到，閑暇和消費都隨的增加而增加，這意味著在我們的模型中，相對于收入效應(yīng)而言，替代效應(yīng)是占主導(dǎo)地位的。從企業(yè)的利潤最大化問題中，我們能得到： 競爭均衡的定義要求政府的預(yù)算要平衡： 代這些表達(dá)式進(jìn)入消費者的閑暇和消費需求函數(shù)中，可以得到如下的競爭均衡數(shù)量： ， ， 注意，當(dāng)我們把消費者的時間預(yù)算代進(jìn)其預(yù)算約束的時候，我們已經(jīng)運用了勞動市場的出清條件。利用或者商品市場出清條件，或者生產(chǎn)函數(shù)，并與上述均衡數(shù)量相結(jié)合，可以求得均衡產(chǎn)量： 給定時，我們可以借助如下的社會計劃者最優(yōu)問題來求得帕累托最優(yōu)的均衡數(shù)量： 代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題： 該最大化問題的一階條件為：利用該一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數(shù)： 利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費者的時間約束、生產(chǎn)函數(shù)和資源約束，我們可以進(jìn)一步求得如下的均衡數(shù)量： ， 因為這些解與上面我們已經(jīng)推導(dǎo)出來的競爭均衡數(shù)量是相同的，因此，競爭均衡分配是帕累托最優(yōu)的分配。在這一例子中，之所以兩者的結(jié)果相同是因為總額稅并不會產(chǎn)生扭曲效應(yīng)。（2）因為在題（1）中我們已經(jīng)求得均衡數(shù)量解，因而，我們之需要簡單地讓這些均衡解對求全導(dǎo)數(shù)，就可以得到結(jié)論： 可以注意到，平衡預(yù)算乘數(shù)是小于1的。因為，所以。（回憶：政府預(yù)算約束必須成立，因而，的任何一個變化一定對應(yīng)著的一個相同變化：。因此，我們有“平衡預(yù)算乘數(shù)”這一名詞。）也可以注意到，擠出是不完全的：因為，所以。（3）為了確定最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量，政府在給定行為人對變化的最優(yōu)反應(yīng)的基礎(chǔ)上通過選擇一個合適的來最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題（1）中求得的行為人的決策規(guī)則看成是一個的函數(shù)：和。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇和是如何隨著的變化而變化的。政府的最優(yōu)化問題可以描述如下： 或者，等價地： 一階條件如下： 或者 （1）注意，方程（1）的左邊代表的是政府購買的邊際成本。這些成本是借助純財富效應(yīng)通過減少消費和閑暇的形式實現(xiàn)的。方程（1）的右邊代表的是政府購買的邊際收益。因此，最優(yōu)的平衡著政府購買的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著的增加而增加，而邊際收益則隨著的增加而減少。求解（1）式可以得到最優(yōu)的政府購買水平： （2）。假設(shè)現(xiàn)在政府通過向消費者的勞動收入征收比例稅來為自己的購買進(jìn)行融資。讓代表稅率，因而政府的總稅收收入等于，這里，是實際工資。（1）寫出政府的預(yù)算約束。（2）對于給定的，試求競爭均衡中的消費、產(chǎn)出和就業(yè)。討論這一均衡是否