因式分解[競(jìng)賽題]含答案(已修改)
2025-07-01 02:00 本頁(yè)面
【正文】 .. . . .. 因式分解 導(dǎo)入：有兩個(gè)人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個(gè)他認(rèn)為是最精美的石頭。甲就笑乙：“你為什么只挑一個(gè)啊?”乙說(shuō)：“漂亮的石頭雖然多，但我只選一個(gè)最精美的就夠了?！奔仔Χ徽Z(yǔ)，下山的路上，甲感到負(fù)擔(dān)越來(lái)越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個(gè)最差的扔下，到下山的時(shí)候他的筐里結(jié)果只剩下一個(gè)石頭!啟示：人生中會(huì)有許多的東西，值得留戀，有的時(shí)候你應(yīng)該學(xué)會(huì)去放棄。二、知識(shí)點(diǎn)回顧：1．運(yùn)用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2b2=(a+b)(ab)； (2)a2177。2ab+b2=(a177。b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)； (4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)． 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)； (7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)； (8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)． 運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．三、專題講解 例1 分解因式： (1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4； (2)x38y3z36xyz； 解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4) =2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2] =2xn1yn(x2ny2)2 =2xn1yn(xny)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z) =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c33abc． 本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)． 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)． 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)． 解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)． 說(shuō)明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c33abc 顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有 等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也
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