計(jì)算方法的課后答案(已修改)
2025-06-30 20:16 本頁(yè)面
【正文】 《計(jì)算方法》習(xí)題答案第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差1．什么是計(jì)算方法？（狹義解釋）答：計(jì)算方法就是將所求的的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為一系列的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上編程上機(jī)，求出問(wèn)題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。2．一個(gè)實(shí)際問(wèn)題利用計(jì)算機(jī)解決所采取的五個(gè)步驟是什么？答：一個(gè)實(shí)際問(wèn)題當(dāng)利用計(jì)算機(jī)來(lái)解決時(shí)，應(yīng)采取以下五個(gè)步驟：實(shí)際問(wèn)題→建立數(shù)學(xué)模型→構(gòu)造數(shù)值算法→編程上機(jī)→獲得近似結(jié)果4．利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式在處的值，并編程獲得解。 解：，從而10101433924722191382473223所以，多項(xiàng)式在處的值。5．?dāng)⑹稣`差的種類及來(lái)源。 答：誤差的種類及來(lái)源有如下四個(gè)方面： （1）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象，忽略一些次要因素簡(jiǎn)化得到的，它是原始問(wèn)題的近似，即使數(shù)學(xué)模型能求出準(zhǔn)確解，也與實(shí)際問(wèn)題的真解不同，我們把數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題之間存在的誤差稱為模型誤差。 （2）觀測(cè)誤差：在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用的一些原始數(shù)據(jù)往往都是通過(guò)觀測(cè)、實(shí)驗(yàn)得來(lái)的，由于儀器的精密性，實(shí)驗(yàn)手段的局限性，周圍環(huán)境的變化以及人們的工作態(tài)度和能力等因素，而使數(shù)據(jù)必然帶有誤差，這種誤差稱為觀測(cè)誤差。 （3）截?cái)嗾`差：理論上的精確值往往要求用無(wú)限次的運(yùn)算才能得到，而實(shí)際運(yùn)算時(shí)只能用有限次運(yùn)算的結(jié)果來(lái)近似，這樣引起的誤差稱為截?cái)嗾`差（或方法誤差）。 （4）舍入誤差：在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中還會(huì)用到一些無(wú)窮小數(shù)，而計(jì)算機(jī)受機(jī)器字長(zhǎng)的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是一定的有限數(shù)位，需要把數(shù)據(jù)按四舍五入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來(lái)代替。這樣引起的誤差稱為舍入誤差。6．掌握絕對(duì)誤差（限）和相對(duì)誤差（限）的定義公式。 答：設(shè)是某個(gè)量的精確值，是其近似值，則稱差為近似值的絕對(duì)誤差（簡(jiǎn)稱誤差）。若存在一個(gè)正數(shù)使，稱這個(gè)數(shù)為近似值的絕對(duì)誤差限（簡(jiǎn)稱誤差限或精度）。 把絕對(duì)誤差與精確值之比稱為近似值的相對(duì)誤差，稱為近似值的相對(duì)誤差限，由于真值是未知的，所以常常用來(lái)表示相對(duì)誤差，于是相對(duì)誤差可以從絕對(duì)誤差求出。7．近似值的規(guī)格化表示形式如何？ 答：一般地，對(duì)于一個(gè)精確值，其近似值的規(guī)格化形式為，其中，為正整數(shù)，為整數(shù)。8．有效數(shù)字的概念是什么？掌握有效數(shù)字與誤差的關(guān)系。 答：若近似值的（絕對(duì)）誤差限是它的某一位的半個(gè)單位，也就是說(shuō)該近似值準(zhǔn)確到這一位，且從該位起直到前面第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。 若近似值的（絕對(duì)）誤差限為，則稱為具有位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到位，其中的每一位數(shù)字都是的有效數(shù)字。 設(shè)精確值的近似值的規(guī)格化形式為，若具有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為；反之，若的相對(duì)誤差限為，則至少有位有效數(shù)字。9．下列各數(shù)都是對(duì)真值進(jìn)行四舍五入后獲得的近似值，試分別寫出它們的絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。（1） （2） （3） （4） （5）；解：（1）；；有三位有效數(shù)字。 （2）；；有四位有效數(shù)字。（3）；；有四位有效數(shù)字。（4）；；有五位有效數(shù)字。（5）；；有六位有效數(shù)字。10．%，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？ 解：，相對(duì)誤差，解得，即取4位有效數(shù)字，%。11．已知，計(jì)算及，并求和的相對(duì)誤差。 解： 12．寫出誤差估計(jì)的一般公式（以二元函數(shù)為例）。 解：二元函數(shù)的絕對(duì)誤差： 二元函數(shù)的相對(duì)誤差： 13．用電表測(cè)得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過(guò)的電流范圍分別為，求這個(gè)電阻的阻值，并估算其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。解：，又。所以： 。14．若，計(jì)算的近似值，并估計(jì)及其上界。 解：15．已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)為，寬的值為，已知，試求面積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。解：由,。可得： 。 16．掌握二元函數(shù)的加、減、乘、除和開方運(yùn)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差估計(jì)公式。 解：（1）加、減運(yùn)算： 由于，所以 （2）乘法運(yùn)算：由于所以，從而（3）除法運(yùn)算：由于，所以， （4）乘方及開方運(yùn)算： 由于，所以17．求方程的兩個(gè)根，使它至少具有4位有效數(shù)字（）。解：19．求方程的較小正根，要求有3位有效數(shù)字。解：所以較小正根為。20．設(shè)。（1）證明：；（2）給出一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性。（1）證明：（2） 設(shè)，則 當(dāng)無(wú)限大時(shí)，越小，所以該算法穩(wěn)定。21．用遞推算法計(jì)算積分，并驗(yàn)證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。解：設(shè)，則 所以該算法是穩(wěn)定的。22．設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的最小計(jì)算量的算法。解：23．什么是數(shù)值穩(wěn)定的算法？數(shù)值計(jì)算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是什么？答：一個(gè)算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差（擾動(dòng)），而計(jì)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng)或增長(zhǎng)可以控制，
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