【正文】 第三章 一元一次方程 初中數(shù)學(xué)（人教版） 七年級(jí) 上冊(cè) 知識(shí)點(diǎn)一 解一元一次方程 —— 去括號(hào) 定義 依據(jù) 去括號(hào) 按照去括號(hào)法則 ,把方程中的括號(hào)去掉 ,這個(gè) 過(guò)程叫做去括號(hào) 乘法對(duì)加法的分配律 去括號(hào) 法則 將括號(hào)外的因數(shù)連同它前面的符號(hào)看成一個(gè)整體 ,按照分配律與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)相乘 .括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù) ,去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)的各項(xiàng)符號(hào)相同 。括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù) ,去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)的各項(xiàng)符號(hào)相反 特別 提醒 括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí) ,去掉括號(hào)后 ,括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均要改變符號(hào) ,不能只改變括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)或前幾項(xiàng)的符號(hào) ,而忘記改變其余項(xiàng)的符號(hào) 例 1 解方程 : (1)5(x+8)5=6(2x7)。(2)? (2y+3)=1y? (y2). 1258分析 去括號(hào)時(shí) ,要注意括號(hào)前面的符號(hào) ,是負(fù)號(hào)時(shí)去掉括號(hào)后要改變 括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào) 。另外要將括號(hào)外的系數(shù)乘括號(hào)中的每一項(xiàng) . 解析 (1)去括號(hào) ,得 5x+405=12x42. 移項(xiàng) ,得 5x12x=4240+5. 合并同類項(xiàng) ,得 7x= 1,得 x=11. (2)去括號(hào) ,得 y+? =1y? y+? . 移項(xiàng) ,得 y+y+? y=1+? ? . 合并同類項(xiàng) ,得 ? y=? .系數(shù)化為 1,得 y=? . 溫馨提示 運(yùn)用分配律去括號(hào)時(shí) ,不要漏乘括號(hào)內(nèi)任何一項(xiàng) . 32584582183427知識(shí)點(diǎn)二 解一元一次方程 —— 去分母 定義 依據(jù) 方法 去分母 一元一次方程中如果有分母 ,在 方程的兩邊同時(shí)乘各分母的最小 公倍數(shù) ,將分母去掉 .這一變形過(guò) 程叫做去分母 等式的 性質(zhì) 2 方程兩邊同時(shí)乘所有分母的最小 公倍數(shù) 重要 提示 (1)去分母時(shí) ,如果分子是一個(gè)多項(xiàng)式 ,應(yīng)該把這個(gè)分子作為一個(gè)整體用括號(hào)括起來(lái) 。 (2)去分母是在方程兩邊同時(shí)乘所有分母的最小公倍數(shù) ,不能漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng) 解析 去分母 ,得 3(x1)24=2(2x3). 去括號(hào) ,得 3x324=4x6. 移項(xiàng) ,得 3x4x=6+3+24. 合并同類項(xiàng) ,得 x=21. 系數(shù)化為 1,得 x=21. 溫馨提示 分子 x 2x3是多項(xiàng)式 ,去分母時(shí)不要忘記加括號(hào) . 例 2 解方程 :? 2=? . 14x ?236x ?知識(shí)點(diǎn)三 解一元一次方程的一般步驟 具體做法 變形依據(jù) 注意事項(xiàng) 去分母 在方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小 公倍數(shù) ,當(dāng)分母是小數(shù)時(shí) ,要利用 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把小數(shù)化為整數(shù) 等式的 性質(zhì) 2 不要漏乘不含分母的項(xiàng) 去括號(hào) 一般先去小括號(hào) ,再去中括號(hào) ,最 后去大括號(hào) 分配律、 去括號(hào) 法則 (1)不要漏乘括號(hào)里面的項(xiàng) 。(2)不 要弄錯(cuò)符號(hào) 移項(xiàng) 把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一 邊 ,其他項(xiàng)都移到方程的另一邊 (移項(xiàng)要變號(hào) ) 移項(xiàng)法則 (1)移項(xiàng)要變號(hào) 。 (2)不要漏項(xiàng) 合并同類項(xiàng) 把方程化為 ax=b(其中 a≠ 0,a,b為 常數(shù) )的形式 逆用分 配律 (1)系數(shù)相加 。 (2)字母及其指數(shù)不變 系數(shù)化為 1 在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系 數(shù) a,得到方程的解為 x=? (其中 a ≠ 0,a,b為常數(shù) ) 等式的 性質(zhì) 2 (1)除數(shù)不為 0。(2)不要把分子、分 母顛倒 重要提示 化分母中的小數(shù)為整數(shù)不同于去分母 ,不是將方程兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù) ,而是將分子、分母同時(shí)乘同一個(gè) 數(shù) ba例 3 解方程 :(1)43(10y)=5y。 (2)? =? 1. 213x ?6x ?解析 (1)去括號(hào) ,得 430+3y=5y. 移項(xiàng) ,得 3y5y=304. 合并同類項(xiàng) ,得 2y=26. 系數(shù)化為 1,得 y=13. (2)去分母 ,得 2(2x1)=(2x+1)6. 去括號(hào) ,得 4x2=2x+16. 移項(xiàng) ,得 4x2x=16+2. 合并同類項(xiàng) ,得 2x=3. 系數(shù)化為 1,得 x=? . 32點(diǎn)撥 去分母是在方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù) ,不能漏乘沒(méi)有 分母的項(xiàng) 。由于分?jǐn)?shù)線既有除號(hào)的作用 ,又有括號(hào)的作用 ,因此去分母時(shí) 分子是多項(xiàng)式的需添加括號(hào) . 知識(shí)點(diǎn)四 列一元一次方程解應(yīng)用題 重要提示 (1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活尋找一些等量關(guān)系 ,同時(shí)也要根據(jù)不 同類型的應(yīng)用題 ,熟悉一些常見(jiàn)的等量關(guān)系 . (2)在解有關(guān)行程問(wèn)題時(shí) ,常通過(guò)畫線段示意圖等手段來(lái)尋找等量關(guān)系 . 行程 問(wèn)題 等量關(guān)系 數(shù)量關(guān)系 相遇 問(wèn)題 甲走的路程 +乙走的路程 =兩地距離 路程 =速度 時(shí)間 追及 問(wèn)題 同地不同時(shí)出發(fā) :前者走的路程 =追者走的路 程 。 同時(shí)不同地出發(fā) :前者走的路程 +兩出發(fā)點(diǎn)間 的距離 =追者走的路程 航行 問(wèn)題 根據(jù)題意 ,利用總路程相等 ,或總時(shí)間相等來(lái) 列式 順流速度 =靜水速度 +水流速度 ,逆流速度 =靜 水速度 水流速度 例 4 甲、乙兩站的距離為 360千米 ,一列快車從乙站開出 ,每小時(shí)行駛 7 2千米 。一列慢車從甲站開出 ,每小時(shí)行駛 48千米 ,請(qǐng)問(wèn) : (1)兩列火車同時(shí)開出 ,相向而行 ,經(jīng)過(guò)多少小時(shí)兩車相遇 ? (2)快車先開 25分鐘 ,兩車相向而行 ,慢車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇 ? 解析 (1)設(shè)經(jīng)過(guò) x小時(shí)兩車相遇 ,則慢車行駛了 48x千米 ,快車行駛了 72x 千米 ,依題意 ,得 48x+72x=360, 合并同類項(xiàng) ,得 120x=360, 系數(shù)化為 1,得 x=3. 答 :經(jīng)過(guò) 3小時(shí)兩車相遇 . (2)設(shè)慢車行駛了 x小時(shí)兩車相遇 ,則慢車行駛了 48x 千米 ,快車先行駛了 ? 千米后 ,又與慢車相向行駛了 72x千米 , 依題意 ,得 48x+72x+72? =360, 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng) ,得 120x=330, 系數(shù)化為 1,得 x=2? . 57212???????512342? 小時(shí) =2小時(shí) 45分鐘 . 答 :慢車行駛了 2小時(shí) 45分鐘兩車相遇 . 34題型一 通過(guò)代數(shù)式之間的關(guān)系構(gòu)造一元一次方程 例 1 當(dāng) x取何值時(shí) ,? 與 ? 的值 : (1)相等 ?(2)互為相反數(shù) ? 233x ?52x ?解析 (1)根據(jù)題意 ,得 ? =? . 去分母 ,得 2(2x3)=3(x+5). 去括號(hào) ,得 4x6=3x+15. 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng) ,得 x=21. (2)根據(jù)題意 ,得 ? =? , 去分母 ,得 2(2x3)=3(x+5). 去括號(hào) ,得 4x6=3x15. 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng) ,得 7x=9. 系數(shù)化為 1,得 x=? . 233x ?52x ?3x ?52x ?97點(diǎn)撥 解決本題的關(guān)鍵是抓住 “ 相等 ”“ 互為相反數(shù) ” 兩個(gè)關(guān)鍵性詞 語(yǔ) ,進(jìn)而正確地列出方程 . 題型二 利用兩個(gè)一元一次方程的解相同求某個(gè)字母的值 例 2 如果方程 ? 8=? 的解與方程 4x(3a+1)=6x+2a1的解相同 , 求式子 a? 的值 . 43x ? 22x ?1a分析 先求出第一個(gè)方程的解 ,然后將求出的解代入第二個(gè)方程即可求 出 a的值 ,從而求得 a? 的值 . 1a解析 解方程 ? 8=? , 去分母 ,得 2(x4)48=3(x+2), 去括號(hào) ,得 2x848=3x6, 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng) ,得 5x=50, 系數(shù)化為 1,得 x=10. 把 x=10代入方程 4x(3a+1)=6x+2a1, 得 410(3a+1)=610+2a1, 解得 a=4. 當(dāng) a=4時(shí) , a? =4? =? . 43x ? 22x ?1a 1 4?154點(diǎn)撥 本題第 2個(gè)方程中含有一個(gè)字母常數(shù) ,除用上述方法解題 ,也可把 字母常數(shù)看作已知數(shù) ,在求得兩方程的相同解后可得到關(guān)于這個(gè)字母常 數(shù)的方程 ,即可求得該字母常數(shù)的值 . 題型三 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉淮畏匠? 例 3 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?: (1)? ? =1。 (2)x? ? =? . 0 . x?12 1 ( 1)2xx????????2 ( 1 )3x解析 (1)原方程可化為 ? x? ()=1, 即 ? x? =1, 去分母 ,得 30x7(1720x)=21, 去括號(hào) ,得 30x119+140x=21, 移項(xiàng) ,得 30x+140x=21+119, 合并同類項(xiàng) ,得 170x=140, 系數(shù)化為 1,得 x=? . (2)去小括號(hào) ,得 x? ? =? , 去括號(hào) ,得 x? x+? x? =? , 10710031 7 2 03 x?141712 1122xx????????223x ?4 3x ?去分母 ,得 12x6x+3x3=8x8, 移項(xiàng) ,得 12x6x+3x8x=8+3, 合并同類項(xiàng) ,得 x=5. 點(diǎn)撥 解一元一次方程時(shí) ,有些變形的步驟可能用不到 ,要根據(jù)方程的 形式靈活安排求解步驟 .(1)在分子或分母中有小數(shù)時(shí) ,可以化小數(shù)為整 數(shù) .注意根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) ,分子、分母必須擴(kuò)大同樣的倍數(shù) .(2)當(dāng)有 多層括號(hào)時(shí) ,應(yīng)按一定的順序去括號(hào) ,注意括號(hào)外的系數(shù)及符號(hào) . 題型四 列一元一次方程解應(yīng)用題 例 4 小明 ,小亮兩人相距 5 km,小明先出發(fā) h,小亮再出發(fā) ,小明在后 小亮在前 ,兩人同向而行 ,小明的速度是 8 km/h,小亮的速度是 6 km/h,小 明出發(fā)后