高等代數(shù)最重要的基本概念匯總(已修改)
2025-06-29 14:58 本頁面
【正文】 第一章 基本概念 數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1 設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集,如果對(duì)于S中任意兩個(gè)數(shù)a、b來說，a+b,ab,ab都在S內(nèi)，那么稱S是一個(gè)數(shù)環(huán)。定義2 設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán)。如果 （i）F是一個(gè)不等于零的數(shù)； （ii）如果a、bF,，并且b，那么就稱F是一個(gè)數(shù)域。定理 任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。第二章 多項(xiàng)式 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算定義1 數(shù)環(huán)R上的一個(gè)文字的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式 ， 是非負(fù)整數(shù)而都是R中的數(shù)。 項(xiàng)式中，叫作零次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)，叫作一次項(xiàng)，一般，叫作i次項(xiàng)的系數(shù)。 定義2 若是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)一元多項(xiàng)式和有完全相同的項(xiàng)，或者只差一些系數(shù)為零的項(xiàng)，那么就說和就說是相等 定義3 叫作多項(xiàng)式，的最高次項(xiàng)，非負(fù)整數(shù)n叫作多項(xiàng)式，的次數(shù)。 設(shè)和是數(shù)環(huán)R上兩個(gè)多項(xiàng)式，并且，那么 當(dāng)時(shí)， 。多項(xiàng)式的加法和乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)則：1） 加法交換律： ；2） 加法結(jié)合律： ；3）乘法交換律： ；4） 乘法結(jié)合律： ；5） 乘法對(duì)加法的分配律： 。 當(dāng)且僅當(dāng)和中至少有一個(gè)是零多項(xiàng)式 若，且，那么 多項(xiàng)式的整除性設(shè)F是一個(gè)數(shù)域。是F上一元多項(xiàng)式環(huán)定義 令和是數(shù)域F上多項(xiàng)式環(huán)的兩個(gè)多項(xiàng)式。如果存在的多項(xiàng)式，使，我們說，整除（能除盡）。多項(xiàng)式整除的一些基本性質(zhì)：1） 如果，那么2） 如果，那么3） 如果，那么對(duì)于中的任意多項(xiàng)式來說，4） 果那么對(duì)于中任意 5） 次多項(xiàng)式，也就是F中不等于零的數(shù)，整除任意多項(xiàng)式。6） 每一個(gè)多項(xiàng)式都能被整除，這里c是F中任意一個(gè)不等于零的數(shù)。7） 如果，那么，這里c是F中的一個(gè)不等于零的數(shù)設(shè)，是兩個(gè)任意的多項(xiàng)式，并且。那么可以寫成以下形式，這里，或者的次數(shù)小于的次數(shù)。 設(shè)和是的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。那么在中可以找到多項(xiàng)式和，使 （3） 這里或者，或者的次數(shù)小于的次數(shù)，滿足以上條件的多項(xiàng)式只有一對(duì)。設(shè)數(shù)域含有數(shù)域而和是的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。1） 定義1 假定是和的任一公因式，那么由
中的第一個(gè)等式，也一定能整除。同理，由第二個(gè)等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，這樣，的確是和的一個(gè)最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。
定義2 設(shè)以除時(shí)，所得的商及余式，比較兩端同次冪的系數(shù)得，…，這種計(jì)算可以排成以下格式
用這種方法求商和余式（的系數(shù)）稱為綜合除法。
多項(xiàng)式的最大公因式
設(shè)F是一個(gè)數(shù)域。是F上一元多項(xiàng)式環(huán)
定義1 令設(shè)和是的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，若是的一個(gè)多項(xiàng)式同時(shí)整除和，那么叫作與的一個(gè)公因式。
定義2 設(shè)是多項(xiàng)式與的一個(gè)公因式。若是能被與的每一個(gè)公因式整除，那么叫作與的一個(gè)最大公因式。
的任意兩個(gè)多項(xiàng)式與一定有最大公因式。除一個(gè)零次因式外，與的最大公因式是唯一確定的，這就說，若是與的一個(gè)最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個(gè)不為零的數(shù)c與的乘積c 也是與的一個(gè)最大公因式；而且當(dāng)與不完全為零時(shí)，只有這樣的乘積才是與的最大公因式。
從數(shù)域F過度渡到數(shù)域時(shí)，與的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。
若是的多項(xiàng)式與的最大公因式，那么在里可以求得多項(xiàng)式，使以下等式成立：
（2）。
注意：。例如，令，那么以下等式成立：但顯然不是與的最大公因。
定義3 如果的兩個(gè)多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外不在有其他的公因式，我們就說，這兩個(gè)多項(xiàng)式互素。
的兩個(gè)多項(xiàng)式與互素的充要條件是：在中可以求得多項(xiàng)式，使
（4）
從這個(gè)定理我們可以推出關(guān)于互素多項(xiàng)式的以下重要事實(shí)：
若多項(xiàng)式與都與多項(xiàng)式互素，那么乘積也與互素。
若多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式與的乘積，而與互素，那么一定整除。2） 若多項(xiàng)式與都整除多項(xiàng)式，而與互素，那么乘積也整除最大公因式的定義可以推廣到個(gè)多項(xiàng)式的情形：若是多項(xiàng)式整除多多項(xiàng)式中的每一個(gè)，那么叫作這n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式。若是的公因式能被這n個(gè)多項(xiàng)式的每一個(gè)公因式整除，那么叫作的一個(gè)最大公因式。 若是多項(xiàng)式的一個(gè)最大公因式，那么是多項(xiàng)式的最大公因式也是多項(xiàng)式的最大公因式。若多項(xiàng)式除零次多項(xiàng)式外，沒有其他的公因式，就是說這
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