軌跡方程求法匯總(已修改)
2025-06-28 19:02 本頁面
【正文】 求軌跡方程的常用方法重點(diǎn): 掌握常用求軌跡方法 難點(diǎn)：軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論 【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)梳理：（一）求軌跡方程的一般方法： 1. 待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。 2. 直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P39。的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P39。的坐標(biāo)，然后把P39。的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。6：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項(xiàng)： 1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。 來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。 3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。 4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身： 1. P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點(diǎn)的軌跡中點(diǎn)的軌跡方程為： （ ） A、 B、 C、 D、=1【答案】：B 【解答】:令中點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選B2. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（ ）A B C D 【答案】：D【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選D3: 一動(dòng)圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【答案】：D【解答】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則|MO||MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。4: 點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M（2x0，y0）的軌跡是 （ ） B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
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