中考沖刺數(shù)學專題06綜合型問題含答案(已修改)
2025-06-19 13:58 本頁面
【正文】 中考沖刺數(shù)學專題6——綜合型問題【備考點睛】綜合型問題是在相對新穎的數(shù)學情境中綜合運用數(shù)學思想、方法 、知識以解決問題，涉及的主要知識點有代數(shù)中的方程、函數(shù)、不等式，幾何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四邊形和圓；涉及的主要思想方法有轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等；要求學生具有融會貫通遷移整合知識的能力、分析轉化與歸納探索的能力、在新情境下解決新問題的創(chuàng)新能力．學生做好以下兩項工作，解決綜合型問題的水平將有較大提高：①全面掌握初中數(shù)學的基礎知識、方法、技能，熟練掌握重點、熱點知識及重要的數(shù)學思想、方法，注重歸納整理形成整體，防止知識出現(xiàn)斷鏈。②適度進行綜合性訓練并善于總結解題體會，對知識形成發(fā)散、遷移及應用能力，提高解題技能，體會數(shù)學思想與方法的運用，形成解題策略，如運用轉化思想解決幾何證明問題，運用方程思想解決幾何計算問題，借助幾何直觀去分析、推理等．【經典例題】類型一、以幾何圖形為背景的綜合題例題1 （2010四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點P是邊BC上的動點（點P不與點B、C重合），過點P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點。設CP=x, △PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當點R在矩形ABCD外部時，求y與x的函數(shù)關系式。并求此時函數(shù)值y的取值范圍。解答：（1）∵四邊形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90176。 ∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD＝= ∴∠CBD=60176?！逷Q∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60176。（2）如題圖（1）由軸對稱的性質可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=（1）知∠RPQ=∠CPQ=60176。 ∴∠RPB=60176。,∴RP=2BP∵CP=x ∴RP=x ,PB=2x. ∴在△RPB中，有2（2x）= x ∴x=（3）當R點在矩形ABCD的外部時（如題圖），﹤x﹤2 在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2x） ∴RP=CP=x ∴ER=RFPF=3x4 在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30176。 ∴ER=RFtan30176。=x4 ∴Ｓ△ERF=ERFR=(x4)( 3x4)=12x+8 又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=xx= ∵y=Ｓ△PQRＳ△ERF ∴當﹤x﹤2時，函數(shù)的解析式為y=（12x+8）=+12x8 （﹤x﹤2）∵y=+12x8 =(x2)+4∴當﹤x﹤2時，y隨x的增大而增大∴函數(shù)值y的取值范圍是﹤y﹤4例題2 （2010 山東東營） 如圖，在銳角三角形ABC中，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點的異側作正方形DEFG.（1） 當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；BADEFGCMN（2）設DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為，試求關于的函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.解答：（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖（1），過點A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8. ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC, ∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴. 解之得.∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，.BADEFGC（2）分兩種情況：①當正方形DEFG在△ABC的內部時，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時x的范圍是≤②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，如圖（2），設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點P，MBADEFGCNPQ△ABC的高AM交DE于N，∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,分即，而AN=AM－MN=AM－EP, ∴，解得.所以, 即.由題意，x，x12,所以.因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為(0 x≤) 當≤，△=當時，因為，所以當時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為.因為24，所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24. 例題3 （2010 浙江義烏）如圖1，已知∠ABC=90176。，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60176。得到線段AQ，連結QE并延長交射線BC于點F.（1）如圖2，當BP=BA時，∠EBF= 176。，猜想∠QFC= 176。；（2）如圖1，當點P為射線B
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