中考沖刺數(shù)學(xué)專題06綜合型問題含答案(已修改)
2025-06-19 13:58 本頁(yè)面
【正文】 中考沖刺數(shù)學(xué)專題6——綜合型問題【備考點(diǎn)睛】綜合型問題是在相對(duì)新穎的數(shù)學(xué)情境中綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法 、知識(shí)以解決問題，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有代數(shù)中的方程、函數(shù)、不等式，幾何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四邊形和圓；涉及的主要思想方法有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等；要求學(xué)生具有融會(huì)貫通遷移整合知識(shí)的能力、分析轉(zhuǎn)化與歸納探索的能力、在新情境下解決新問題的創(chuàng)新能力．學(xué)生做好以下兩項(xiàng)工作，解決綜合型問題的水平將有較大提高：①全面掌握初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、方法、技能，熟練掌握重點(diǎn)、熱點(diǎn)知識(shí)及重要的數(shù)學(xué)思想、方法，注重歸納整理形成整體，防止知識(shí)出現(xiàn)斷鏈。②適度進(jìn)行綜合性訓(xùn)練并善于總結(jié)解題體會(huì)，對(duì)知識(shí)形成發(fā)散、遷移及應(yīng)用能力，提高解題技能，體會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用，形成解題策略，如運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決幾何證明問題，運(yùn)用方程思想解決幾何計(jì)算問題，借助幾何直觀去分析、推理等．【經(jīng)典例題】類型一、以幾何圖形為背景的綜合題例題1 （2010四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)。設(shè)CP=x, △PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍。解答：（1）∵四邊形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90176。 ∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD＝= ∴∠CBD=60176?！逷Q∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60176。（2）如題圖（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=（1）知∠RPQ=∠CPQ=60176。 ∴∠RPB=60176。,∴RP=2BP∵CP=x ∴RP=x ,PB=2x. ∴在△RPB中，有2（2x）= x ∴x=（3）當(dāng)R點(diǎn)在矩形ABCD的外部時(shí)（如題圖），﹤x﹤2 在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2x） ∴RP=CP=x ∴ER=RFPF=3x4 在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30176。 ∴ER=RFtan30176。=x4 ∴Ｓ△ERF=ERFR=(x4)( 3x4)=12x+8 又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=xx= ∵y=Ｓ△PQRＳ△ERF ∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，函數(shù)的解析式為y=（12x+8）=+12x8 （﹤x﹤2）∵y=+12x8 =(x2)+4∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，y隨x的增大而增大∴函數(shù)值y的取值范圍是﹤y﹤4例題2 （2010 山東東營(yíng)） 如圖，在銳角三角形ABC中，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形DEFG.（1） 當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；BADEFGCMN（2）設(shè)DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.解答：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖（1），過點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8. ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC, ∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴. 解之得.∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，.BADEFGC（2）分兩種情況：①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時(shí)x的范圍是≤②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，如圖（2），設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)P，MBADEFGCNPQ△ABC的高AM交DE于N，∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,分即，而AN=AM－MN=AM－EP, ∴，解得.所以, 即.由題意，x，x12,所以.因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為(0 x≤) 當(dāng)≤，△=當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為.因?yàn)?4，所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24. 例題3 （2010 浙江義烏）如圖1，已知∠ABC=90176。，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF= 176。，猜想∠QFC= 176。；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線B
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