【正文】 【思維導(dǎo)圖】 物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)方法為物理學(xué)的研究提供了簡明精確的科學(xué)通用的語言形式 ,從而大大簡化和加速了人們的思維過程 , 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法是物理思維和數(shù)學(xué)思維高度融合的產(chǎn)物 , 借助數(shù) 學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性 , 能達(dá)到打通關(guān)卡、快速簡捷地解決問題的目的。高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用 , 借助物理知識滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題。可以說任何物理試題的求解過程實質(zhì)上都是一個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 , 然后經(jīng)過求解再次還原為物理結(jié)論的過程。 近幾年來的高考物理試題對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力的要求一直居高不下 , 預(yù)計 2022 年的高考中對于數(shù)學(xué)知識運用的考查力度不會削弱。復(fù)習(xí)中應(yīng)加強基本的運算能力的培養(yǎng) , 同時要注意三角函數(shù)的運用 , 對于圖象的運用要重視從圖象 中獲取信息能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。在解決帶電粒子運動的問題時 , 要注意幾何知識、參數(shù)方程等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。在解決力學(xué)問題時 , 要注意極值法、微元法、數(shù)列法、分類討論法等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。 【知能診斷】 甲 1 . 一輛汽車在平直的公路上由靜止出發(fā) , v t 圖象如圖甲所示 , 已知該汽車在前 4 s 的時間內(nèi)行駛了 20 m , 則 4 s 末汽車的速度 v 的大小為 ( ) 。 A. v= 5 m/s m/s v 10 m/s C. v 10 m/s D. v= 10 m/s 【疑惑】物體做何種運動 ? 末速度大小范圍怎樣確定 ? 【解析】若汽車 從靜止開始做勻加速直線運動 , 并且在4 s 的時間內(nèi)行駛 20 m 的位移 , 在圖中畫出其 v t 圖象如圖乙所示 , 那么當(dāng)圖中面積 1 和面積 2 相等時 , 汽車在 4 s 末的速度為 v 1 =2 ????= 10 m/s 。從圖中可知汽車速度小于 10 m/s 。 乙 丙 若汽車做勻速直線運動 , 并且在 4 s 的時間內(nèi)行駛 20 m ,同理 , 畫出其 v t 圖象如圖丙所示 , 那么汽車在 4 s 末速度為v 2 =????= 5 m/s 。從圖中可知 , 汽車速度大于 5 m/s 。 【答案】 B 2 . ( 2022 年新課標(biāo)全國 Ⅱ 卷 ) 空間有一圓柱形勻強磁 場區(qū)域 , 該區(qū)域的橫截面的半徑為 R , 磁場方向垂直于橫截面。一質(zhì)量為 m 、電荷量為 q ( q 0 ) 的粒子以速率 v 0 沿橫截面的某直徑射入磁場 , 離開磁場時速度方向偏離入射方向 60 176。不計重力 , 該磁場的磁感應(yīng)強度大小為 ( ) 。 A. 3 m ?? 03 ?? ?? B.?? ??0?? ?? C. 3 m ?? 0?? ?? D.3 ?? ??0?? ?? 【疑惑】粒子進(jìn)入磁場后軌跡怎樣 ? 圓心在何處 ? 半徑多大 ? 【解析】由題意可知粒子的運動軌跡如圖所示 , 根據(jù)幾何知識可知 , 速度 v 0 偏過 60 176。角 , 即粒子運動軌跡的圓心角也是 60 176。 , 所以 r=??tan 30 176。= 3 R , 又 r=?? ??0?? ??, 故 B= 3 m ??03 ?? ??, 選 A 。 【答案】 A 3 . 物體在變力 F 作用下沿水平方向做直線運動 , 物體質(zhì)量m= 10 kg , F 隨坐標(biāo) x 的變化情況如圖所示。若物體在坐標(biāo)原點處由靜止出發(fā) , 不計一切摩擦。借鑒學(xué)習(xí)教科書中直線運動時由 v t 圖象求位移的方法 , 結(jié)合其他所學(xué)知識 , 根據(jù)圖示的 F x 圖象 , 可求出物體運動到 x= 16 m 處時 , 速度大小為( ) 。 m/s B. 4 m/s 2 m/s D. 17 m/s 【疑惑】在力的作用下物體按什么規(guī)律運動 ? F x 圖象中圖線與橫軸所圍面積的物理意義是什么 ? 【解析】在 0 ~ 4 m 位移內(nèi) F 恒定 , 物體做勻加速直線運動 , 根據(jù)牛頓第二定律得 a=????= 1 m/s2。根據(jù) ??42 ??02= 2 ax得 : v 4 = 2 2 m/s 。由圖可知 , 在 4 m ~ 8 m 和 12 m ~ 16 m 這兩段過程中 , 力 F 與橫軸圍成的面積相等 , 但一個在橫軸上方 , 一個在橫軸下方 , 說明力 F 對物體做功一正一負(fù) , 大小相等 , 總功之和為 0 。 對物體在 4 m ~ 16 m 內(nèi)運動過程運用動能定理 ,物體運動到 x= 16 m 處時的動能與物體運動到 x= 4 m 處時的動能相等 , 速度也相等 , 所以物體運動到 x= 16 m 處時 , 速度大小為 2 2 m/s 。 【答案】 C 4 . ( 2022 年廣西卷 ) 如圖甲 , 在第一象限存在勻強磁場 , 磁感應(yīng)強度方向垂直于紙面 ( xOy 平面 ) 向外 。 在第四象限存在勻強電場 , 方向沿 x 軸負(fù)向。在 y 軸正半軸上某點以與 x 軸正向平行、大小為 v 0 的速度發(fā)射出一帶正電荷的粒子 , 該粒子在 ( d , 0 ) 點沿垂直于 x 軸的方向進(jìn)入電場。不計重力。若該粒子離開電場時速 度方向與 y 軸負(fù)方向的夾角為 θ , 求 : ( 1 ) 電場強度大小與磁感應(yīng)強度大小的比值。 ( 2 ) 該粒子在電場中運動的時間。 【疑惑】粒子進(jìn)入磁場后運動軌跡怎樣 ? 圓心在何處 ?半徑多大 ? 【解析】 ( 1 ) 如圖乙 , 粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動。設(shè)磁感應(yīng)強度的大小為 B , 粒子質(zhì)量與所帶電荷量分別為 m和 q , 圓周運動的半徑為 R 0 。由洛倫茲力公式及牛頓第二定律得 qv 0 B=m??02??0 由題給條件和幾何關(guān)系可知 R 0 =d 設(shè)電場強度大小為 E , 粒子進(jìn)入電場后沿 x 軸負(fù)方向的加速度大小為 a x , 在電場中運動的時間為 t , 離開電場時沿 x軸負(fù)方向的速度大小為 v x 。由牛頓定律及運動學(xué)公式得 Eq=ma x , v x =a x t ,????2t=d 由于粒子在電場中做類平拋運動 ( 如圖乙 ), 有 tan θ=??????0 聯(lián)立以上各式得????=12v 0 tan2 θ 。 ( 2 ) 根據(jù) ( 1 ) 中????2t=d 和 tan θ =??????0 聯(lián)立解得 t=2 ????0t a n ??。 【答案】 ( 1 )12v 0 tan2 θ ( 2 )2 ????0t a n ?? 5 . 如圖所示 , 一質(zhì)量為 m 的物塊在與水平方向成 θ 角的力 F的作用下從 A 點由靜止開始沿水平直軌道運動 , 到 B 點后撤去力 F , 物體飛出后越過“壕溝”落在平臺 EG 段。已知物塊的質(zhì)量 m= 1 kg , 物體與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為 μ= 0 . 5 , AB 段長 L= 10 m , BE 的高度差 h= 0 . 8 m , BE 的水平距離x= 1 . 6 m 。若物塊可看作質(zhì)點 , 空氣阻力不計 , g 取 10 m/s2。 ( 1 ) 要越過壕溝 , 求物塊在 B 點最小速度 v 的大小。 ( 2 ) 若 θ = 37 176。 , 為使物塊恰好越過“壕溝” , 求拉力 F 的大小。 ( 3 ) 若 θ 大小不確定 , 為使物塊恰好越過 “壕溝” , 求力 F 的最小值 ( 結(jié)果可保留根號 ) 。 【疑惑】物塊恰好越過“壕溝” , 力的大小與 θ 大小有什么關(guān)系 ? 如何確定力的最小值 ? 【解析】 ( 1 ) 物體飛越“壕溝”過程中 , 豎直方向上有h=12gt2 解得物體飛越“壕溝”的時間 t= 2 ???= 0 . 4 s 物體飛越“壕溝”的最小初速度 v=????= 4 m/s 。 ( 2 ) 物體在 AB 軌道上運動時有 v2= 2 aL 解得物體的加速度 a= 0 . 8 m/s2 根據(jù)牛頓第二定律有 F cos θ μ ( mg F sin θ ) =ma 得 F=?? ?? ?? + ?? ??c os ?? + ?? s i n ??= 5 . 27 N 。 ( 3 ) 根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知 F=?? ?? ?? + ?? ??c os ?? + ?? s i n ??≥?? ?? ?? + ?? ?? 1 + ?? 2 代入數(shù)據(jù)得 F min =5825 5 N = 2 . 32 5 N 。 【答案】 ( 1 ) 4 m/s ( 2 ) 5 . 27 N ( 3 ) 5 N 6 . 如圖甲所示 , 光滑且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌 MN 、 PQ 固定在同一水平面上 , 兩導(dǎo)軌間的距離 L= 1 m , 定值電阻 R 1 = 6 Ω , R 2 = 3 Ω , 導(dǎo)軌上放一質(zhì)量 m= 1 kg 的金屬桿 , 桿的電阻 r= 2 Ω , 導(dǎo)軌的 電阻不計 , 整個裝置處于磁感應(yīng)強度為 B= 0 . 8 T的勻強磁場中 , 磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向下?，F(xiàn)用一拉力F 沿水平方向拉桿 , 使金屬桿以一定的初速度開始運動。圖乙所示為通過 R 1 中電流的平方 ??12隨時間 t 的變化關(guān)系圖象 ,求 : ( 1 ) 5 s 末金屬桿的速度。 ( 2 ) 寫出安培力的大小隨時間變化的關(guān)系方程。 ( 3 ) 5 s 內(nèi)拉力 F 所做的功。 【疑惑】 I2 t 圖象對應(yīng)的函數(shù)方程是怎樣的 ? I2 t 圖象與橫軸 t 圍成的面積與電阻有怎樣的關(guān)系 ? 【解析】 ( 1 ) 外總電阻 R 外 =??1??2??1+ ??2= 2 Ω 由圖象得 5 s 末的電流 I 1 = 0 . 2 A , R 1 、 R 2 并聯(lián) , 故 I 總= 3 I 1 = 0 . 6 A E=I 總 ( R 外 +r ) = 0 . 6 ( 2 + 2 ) V = 2 . 4 V 由 E=BLv 得 v t =???? ??=2 . 40 . 8 1 m/s = 3 m/s 。 ( 2 ) 圖象方程 : ??12= 0 . 02 + 0 . 004 t 得 I 1 = 0 . 1 2 + 0 . 4 ?? A R 1 、 R 2 并聯(lián) , 故 I 總 = 3 I 1 = 0 . 3 2 + 0 . 4 ?? A 安培力 F A =BI 總 L= 0 . 24 2 + 0 . 4 ?? N 。 ( 3 ) 圖線與時間軸包圍的“面積”為12( 0 . 02 + 0 . 04 ) 5 = 0 . 15 故 5 s 內(nèi) R 1 中產(chǎn)生的焦耳熱為 Q 1 =I2Rt= 0 . 15 6 J = 0 . 9 J 電路中總電熱 Q 總 =Q 1 +Q 2 +Q r = 6 Q 1 = 5 . 4 J 金屬桿初始速度 v 0 =??0?? ??=3 0 . 02 ( 2 + 2 )0 . 8 1 m/s = 1 . 5 2 m/s 由功能關(guān)系 W F W 安 = Δ E k 又 : W 安 =Q 總 得 : W F = Δ E k +Q 總 =12m ( ????2 ??02) +Q 總 代入數(shù)據(jù)得 W F =12 1 ( 32 1 . 52 2 ) + 5 . 4 J = 7 . 65 J 。 【答案】 ( 1 ) 3 m/s ( 2 ) 0 . 24 2 + 0 . 4 ?? N ( 3 ) 7 . 65 J 7 . 如圖所示 , 一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒 , 棒下端離地面高為 H , 上端套著一個細(xì)環(huán)。棒和環(huán)的質(zhì)量均為 m , 相互間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力 kmg ( k 1 ) 。斷開輕繩 , 棒和環(huán)自由下落。假設(shè)棒足夠長 , 與地面發(fā)生碰撞時觸地時間極短 ,無動能損失。棒在整個運動過程中始終保持豎直 , 空氣阻力不計。求 : ( 1 ) 棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中 , 環(huán)的加速度。 ( 2 ) 從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間 , 棒運動的路程 s 。 ( 3 ) 從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中 , 摩擦力對環(huán)和棒做的總功 W 。 【疑惑】下落過程中棒和環(huán)如何運動 ? 棒與地面碰后上升過程中棒和環(huán)又如何運動 ? 【解析】 ( 1 ) 設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為 a環(huán) 由牛頓第二定律有 a 環(huán) =?? ?? ?? ?? ????= ( k 1 ) g , 方向豎直向上。 ( 2 ) 棒第一次落地前瞬間的速度大小 : v 1 = 2 ?? ?? 設(shè)棒彈起后的加速度為